Le cercle trigonométrique


Pour des informations sur les identités trigonométriques, veuillez consulter les fiches suivantes

Les identités trigonométriques
Les démonstrations d'identités trigonométriques

Les angles trigonométriques

Angle au centre et arc de cercle

Un cercle est caractérisé par son centre et la mesure de son rayon.

La portion du cercle qui est délimitée par deux rayons s’appelle un arc. L’angle formé par les deux rayons s’appelle un angle au centre.

La mesure d’un angle

On exprime habituellement la mesure d’un angle en degrés, mais on peut aussi utiliser les radians pour exprimer la mesure d’un angle.

Un radian (1 rad) correspond à la mesure de l’angle au centre dont les côtés interceptent sur le cercle un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle.


La conversion des degrés en radians et des radians en degrés

Puisque la circonférence d’un cercle est le produit de |2\pi| par la mesure du rayon |(c=2\pi\cdot r)|, l’angle au centre que représente le cercle en entier mesure donc |2\pi| rad.

On peut donc poser la proportion suivante :

|\frac{la\: mesure\: de\: l'angle\: au\: centre\: en\: degr\acute{e}s}{360^{o}}=\frac{la\: mesure\: de\: l'angle\: au\: centre\: en\: radians}{2\pi rad}|

Exemple 1:
Trouver en degrés la mesure d’un angle de |\frac{7\pi}{12}|rad.
(on peut remplacer |\pi| par la valeur de 3,1416)

|\frac{\theta\, en\, degr\acute{e}s}{180^{o}}=\frac{\frac{7\pi}{12}rad}{\pi rad}|

|\theta\, en\, degr\acute{e}s=180\cdot\frac{7\pi}{12}/\pi|

|=105^{o}|

Exemple 2:
Trouver en radians la mesure d’un angle de 270°.

|\frac{270^{o}}{180^{o}}=\frac{\theta\, en\, rad}{\pi rad}|

|\theta\, en\, rad=270\cdot\pi/180|

|=\frac{3\pi}{2}rad|

La mesure de l’arc intercepté

Dans un cercle, nous pouvons aussi établir la proportion suivante :
|\frac{la\: mesure\: de\: l'angle\: au\: centre\: en\: degr\acute{e}s}{360^{o}}=\frac{la\: mesure\: de\: l'arc\: intercept\acute{e}}{la\: circonf\acute{e}rence\: du\: cercle}|
|\frac{\theta\: en\: degr\acute{e}s}{360^{o}}=\frac{la\: mesure\: de\: l'arc\: intercept\acute{e}}{2\pi r}|

Mais puisque :
|\frac{\theta\: en\: degr\acute{e}s}{360^{o}}=\frac{\theta\: en\: radians}{2\pi rad}|

Par substitution, on peut alors obtenir la proportion suivante :

|\frac{\theta\: en\: radians}{2\pi\: radians}=\frac{La\: mesure\: de\: l'arc\: intercept\acute{e}}{2\pi r}|
 

Ainsi, les côtés d’un angle au centre de |\theta|radians interceptent un arc dont la longueur L correspond à |\theta| fois le rayon.

C'est en simplifiant la proportion ci-dessous qu' on obtient :

 

|\frac{\theta\: en\: radians}{2\pi\: radians}=\frac{L}{2\pi r}|

|\frac{\theta\: en\: radian}{1\; radian}=\frac{L}{r}|

|\theta\cdot r=L|

Donne le rayon d’un cercle dont la mesure de l’angle au centre et la longueur de l’arc intercepté par cet angle sont 220° et 15 cm.

Transformons tout d’abord 220° en radians.

|\frac{\theta\: en\: degr\acute{e}s}{180^{o}}=\frac{\theta\: en\: radians}{\pi\: rad}|

|\frac{220^{o}}{180^{o}}=\frac{\theta\: en\: radians}{\pi\: rad}|
 
|\frac{220^{o}\cdot\pi\: rad}{180^{o}}=\theta\: en\: radians|

|\frac{11\pi}{9}rad=\theta\: en\: radians|

Trouvons maintenant le rayon.

|\theta\cdot r=L|

|\frac{11\pi}{9}\cdot r=15|

|r=\frac{15}{\frac{11\pi}{9}}|

|r=3,91cm|

Les angles trigonométriques

En géométrie la mesure d’un angle correspond à l’ouverture entre deux demi-droites de même origine, mais en trigonométrie, l’angle trigonométrique est relié à un angle de rotation.

Le sommet d’un angle trigonométrique est à l’origine du plan cartésien (le point (0,0)). La mesure de l’angle trigonométrique correspond à celle de l’angle de rotation.

Cette mesure est négative lorsque la rotation s’effectue dans le sens horaire (angle A sur le dessin) et positive lorsqu’elle s’effectue dans le sens antihoraire (angle B sur le dessin). L’angle A et l’angle B sont appelés angles coterminaux, car ils ont le même côté terminal.

Le cercle trigonométrique et les points remarquables

Le cercle trigonométrique est le cercle dont le centre correspond à l’origine du plan cartésien (0,0) et dont le rayon mesure 1 unité :

Lorsqu’on mesure un angle dans le cercle trigonométrique, on part toujours du point (1, 0) qu’on appelle point zéro.

Pour trouver les coordonnées de d'autres points sur le cercle trigonométriques, il suffit de connaître la mesure de l'angle au centre et d'appliquer la règle de Pythagore dans un triangle rectangle.

Dans cet exemple, nous avons un triangle rectangle dont l'un des angles mesure 45°. L'autre angle mesure alors 45° aussi puisque la somme des angles intérieurs de tout triangle est 180°. Nous avons donc un triangle rectangle-isocèle

|x^{2}+y^{2}=1|
|x^{2}+x^{2}=1|
|2x^{2}=1|
|x^{2}=\frac{1}{2}|
|x=\sqrt{\frac{1}{2}}\bullet\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}|

|x=\frac{\sqrt{2}}{2}|

Dans un triangle est isocèle,les deux côtés
du triangle ont la même mesure.

|y=\frac{\sqrt{2}}{2}|
Dans un triangle rectangle comportant un angle de 30°, la mesure du côté opposé à l’angle de 30° est égale à la demi-mesure de l’hypoténuse. Ainsi, comme l'hypothénuse est le rayon et que le rayon mesure 1:

|y=\frac{1}{2}|

|x^{2}+\frac{1}{2}^{2}=1|
|x^{2}+\frac{1}{4}=1|
|x^{2}=1-\frac{1}{4}|
|x^{2}=\frac{3}{4}|
|x=\sqrt{\frac{3}{4}}|

|x=\frac{\sqrt{3}}{2}|
Donc les coordonnées du point |P(\frac{\pi}{4})=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})| Donc les coordonnées du point |P(\frac{\pi}{6})=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})|.

À partir de ces informations, voici les coordonnées de quelques points du cercle trigonométrique associées à certains angles remarquables .

- Chacun de ces points est appelé point trigonométrique |P(\theta)| où |\theta| est le mesure d'un angle en radian.

- Les coordonnées (x,y) de chacun de ces points représentent respectivement |cos(\theta)| et |sin(\theta)|.

|(x,y)= (cos(\theta),sin(\theta))|

Trouver les coordonnées d’un point lorsque la mesure de l’angle excède |2\pi| rad

Pour trouver les coordonnées d’un point lorsque la mesure de l’angle excède |2\pi| rad, il faut retrancher de l’angle donné l’angle correspondant au nombre de rotations complètes qu’il contient. Le résultat sera ainsi ramené dans l’intervalle [0,|2\pi|] .

Voici plus en détail les étapes à suivre :

1. Calculer le nombre de rotations |N| à retrancher de l’angle donné t en divisant cette mesure d’angle par |2\pi| et en conservant la partie entière du résultat obtenu :

|N=[\frac{t}{2\pi}]|

2. Soustraire de l’angle donné, l’angle formé par le nombre de rotations précédemment calculé (dont la mesure est donc de |N\bullet2\pi|): |t'=t-N\cdot2\pi|

3. Situer le résultat de la soustraction précédente, qui est un nombre compris en 0 et |2\pi| , sur le cercle trigonométrique et indiquer ses coordonnées.


ATTENTION : Lorsque l’angle aura une valeur négative, la valeur de N sera elle aussi négative. Donc il faudra soustraire un multiple négatif de |2\pi|, ce qui reviendra à additionner des rotations pour trouver le résultat dans l’intervalle |[0,2\pi]|

 

Déterminer la position, sur le cercle trigonométrique, du point |P(\frac{31\pi}{6})| et indiquer ses coordonnées.

1. Calcul du nombre de rotations
|N=[t\div2\pi]|

|N=[\frac{31\pi}{6}\div2\pi]|

|N=[2,5833...]|

|N=2|

2. Soustraire le nombre de rotations

|t'=t-N\times2\pi|

|t'=\frac{31\pi}{6}-2\times2\pi|
 
|t'=\frac{31\pi}{6} -\frac{24\pi}{6}|
 
|t'=\frac{7\pi}{6}|

3. Trouver les coordonnées

Le point  coïncide avec le point P de sorte que ses coordonnées sont :

|P(\frac{31\pi}{6})=(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})|

 

Déterminer la position, sur le cercle trigonométrique, du point |P(\frac{-26\pi}{3})| et indiquer ses coordonnées.

1. Calcul du nombre de rotations

|N=[t\div2\pi]|

|N=[\frac{-26\pi}{3}\div2\pi]|

|N=[-4,33...]|

|N=-5|

2. Soustraire le nombre de rotations

|t'=t-N\times2\pi|

|t'=\frac{-26\pi}{3}-(-5)\times2\pi|
 
|t'=\frac{-26\pi}{3} -(-10\pi)|
 
|t'=\frac{4\pi}{3}|

3. Localisation du point et ses coordonnées

Le point  coïncide avec le point P  de sorte que ses coordonnées sont :

|P(\frac{-26\pi}{3})=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})|

Trouver la mesure de l’angle dans un intervalle donné

On peut aussi vouloir trouver l’inverse, c’est-à-dire qu’on peut vouloir trouver la valeur d’un angle dans un intervalle donné en connaissant ses coordonnées.

Pour trouver la valeur d’un angle, on doit d’abord identifier la mesure de l’angle à partir de ses coordonnées dans l’intervalle |[0,2\pi]|, puis lui ajouter le nombre de rotations nécessaires afin d’obtenir l’angle compris dans l’intervalle demandé.

Voici plus en détail les étapes à suivre :

1. Localiser sur le cercle trigonométrique le point dont on connaît les coordonnées et trouver la valeur de t’  associée à ce point dans l’intervalle |[0,2\pi]|.

2. Calculer le nombre de rotations à ajouter à t’  à l’aide de la formule : |N=[\frac{b-t'}{2\pi}]|

(où b représente la seconde borne de l’intervalle demandé.)

3. Additionner à t’ le nombre de rotations calculé précédemment à l’aide de la formule: |t=t' +N\cdot2\pi|
 

Déterminer la valeur de l'angle t en radians si |P(t)=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})| et si |t\epsilon[9\pi,11\pi]|.

1. Localisation du point sur le cercle trigonométrique

Entre 0 et |2\pi|, l’angle au centre correspondant au point de coordonnées |(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})| est de |\frac{7\pi}{4}|.

On notera ce point t’.

2. Calcul du nombre de rotations

|N=[\frac{b-t'}{2\pi}]|

|N=[\frac{11\pi-\frac{7\pi}{4}}{2\pi}]|

|N=[\frac{\frac{37\pi}{4}}{2\pi}]|

|N=[\frac{37}{8}]|

|N=[4,625]|

|N=4|

3. Additionner le nombre de rotations

|t=t'+N\times2\pi|

|t=\frac{7\pi}{4}+4\times2\pi|

|t=\frac{7\pi}{4}+8\pi|

|t=\frac{39\pi}{4}|

Dans l’intervalle|[9\pi,11\pi]|, c’est le point |(\frac{39\pi}{4})| qui possède les coordonnées |(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})|.

 
Déterminer la valeur de l'angle t en radians si |P(t)=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})| et si |t\epsilon[-6\pi,-4\pi]|.

1. Localisation du point sur le cercle trigonométrique

Entre 0 et |2\pi|, l’angle au centre correspondant au point de coordonnées |(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})| est de |t\epsilon[-6\pi,-4\pi]|. On notera ce point t’.

2. Calcul du nombre de rotations

|N=[\frac{b-t'}{2\pi}]|

|N=[\frac{-4\pi-\frac{\pi}{6}}{2\pi}]|

|N=[\frac{\frac{-25\pi}{6}}{2\pi}]|

|N=[\frac{-25}{12}]|

|N=[-2,0833...]|

|N=-3|

3. Additionner le nombre de rotations

|t=t'+N\times2\pi|

|t=\frac{\pi}{6}+-3\times2\pi|

|t=\frac{\pi}{6}-6\pi|

|t=\frac{-35\pi}{6}|

Dans l’intervalle|[-6\pi,-4\pi]| , c’est le point |(\frac{-35\pi}{6})| qui possède les coordonnées |(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})|.

Les exercices

Les références

Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique et les radians

Le cercle trigonométrique et l’enroulement


  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse