La complétion du carré

Vidéo

1.On s’assure que le coefficient du premier terme est 1. Nous aurons une mise en évidence simple à faire pour commencer.

2. On veut transformer le trinôme entre crochets en un trinôme carré parfait. En utilisant la formule suivante.

|(\frac{b}{2})^{2}|
 
3. On factorise le trinôme carré parfait et transformer le trinôme en différence de carrés.

4. On factorise la différence de carrés .

Factorisons le trinôme suivant : 2x²-4x-16

1. On s’assure que le coefficient du premier terme est 1. Nous aurons une mise en évidence simple à faire pour commencer.

Le facteur 2 est commun à tous les termes, alors on le met en évidence.

2(x2-2x-8)

2. On veut transformer le trinôme entre crochets en un trinôme carré parfait.
Pour ce faire, on doit ajouter dans les crochets la valeur de :


On ajoute cette valeur, on doit aussi soustraire cette même valeur pour ne pas changer l’expression algébrique.



3. On factorise le trinôme carré parfait et transformer le trinôme en différence de carrés.


4. On factorise la différence de carrés.

Les exercices

QUESTION 1

L'aire d'un rectangle est donnée par l'expression (6x² - 9x - 27)
Quelles expressions algébriques peuvent représenter les dimensions de ce rectangle ?

RÉPONSE 1

On sait que l'aire d'un rectangle est fourni par le produit de la base et de la hauteur. Il nous faut donc trouver deux expressions algébriques différentes qui, multipliées ensemble, donneront 6x2 – 9x – 27.

Il y a plusieurs réponses possibles à ton problème. Le cas le plus difficile de résolution serait la complétion de carré, alors que la façon la plus facile serait de trouver tout simplement deux termes qui multipliés ensemble donnent le trinôme (par exemple: 3 et 2x2 -3x - 9).

Voici la résolution pour la complétion de carré:

Avec 6x2 – 9x – 27, on doit commencer par mettre en évidence le 6 (qui correspond à "a" selon la forme ax2 + bx + c).

6(x2 - 1,5x - 4,5)

Pour faire un trinôme carré parfait, il nous faut maintenant additionner et soustraire au trinôme une valeur égale à b2/4 (ou (b/2)2).

6[(x2 - 1,5x + (2,25/4) - (2,25/4)- 4,5)]

On peut maintenant factoriser:

6[(x2 - 1,5x + (2,25/4) - (2,25/4)- 4,5)]

6[(x2 - 1,5x + 0,5625 - 0,5625- 4,5)]

6[(x2 - 1,5x + (0,75)2 - (0,75)2- 4,5)]

6[(x2 - 1,5x + (0,75)2) - (0,75)2- 4,5]

6[(x - 0,75)2 - (0,75)2- 4,5]

6[(x - 0,75)2 - 81/16]

6[(x - 0,75)2 - (9/4)2]

6[(x - 3/4)2 - (9/4)2]

On peut maintenant faire la différence de carrés:

6[(x - 3/4 - 9/4)(x - 3/4 + 9/4)]

Il ne reste qu'à simplifier:

6[(x - 3/4 - 9/4)(x - 3/4 + 9/4)]

6[(x - 12/4)(x + 6/4)]

6[(x - 3)(x + 1,5)]

Nancy, Allô Prof


Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse