La notion d'équation et traduire un énoncé

Une équation est une représentation impliquant une égalité entre des nombres ou des termes algébriques.

Voici quelques exemples d'équations:

10x+6=36
 
|\frac{x+7}{x+4}=\frac{2x-3}{2x}|

Voici des exemples qui ne représentent pas une équation, car il n'y a pas d'égalité (=).
2x + 7
a – 12
10 + 7

L’équation algébrique

L’équation algébrique met en relation des données exprimées notamment à l’aide de variables (lettres).

Selon le contexte, on peut établir des liens entre deux variables. Dans l'équation algébrique, les lettres sont appelées les variables. Elles représentent des nombres qui eux sont des quantités qui varient, d'où le nom «variable».

Voici des exemples de quantités (nombres) qui peuvent varier dans un contexte donné:

- le profit et le nombre de tablettes de chocolat vendues;
- l’âge de deux personnes;
- le poids et la grandeur d’un objet ou d’une personne;
- le nombre de bicyclettes, de tricycles et de roues;
- etc.

La traduction d’un énoncé de problème en une équation algébrique

Le passage d’énoncés dans un problème à une équation algébrique ressemble à la traduction d’une langue à l’autre. D’ailleurs, on dit souvent « traduire » un énoncé en équation.

  On suit ces étapes pour passer d’une forme à l’autre :

1. Identifier les variables

2. Identifier la relation entre les variables

3. Traduire cette relation par une équation (ou une inéquation) ou par une expression algébrique.

Martine tond des pelouses pour amasser de l’argent de poche. Elle demande 5 $ pour tondre une pelouse. Quelle équation traduit cette situation?

1. On identifie les variables (ce qui peut varier dans le problème) :

variable 1 : le nombre de pelouses tondues par Martine (x);
variable 2 : l’argent amassé par Martine en fonction du nombre de pelouses tondues (y).

2. On identifie la relation entre les variables

Martine reçoit 5 $ pour chaque pelouse qu’elle tond.
On peut aussi dire que plus elle tond un grand nombre de pelouse, plus la somme ramassée sera grande.

3. On traduit cette relation par une équation :

L’argent amassé par Martine = 5 $ multiplié par le nombre de pelouses tondues
 
y  =  5x

Certains énoncés du problème contiennent des données qui sont mises en relation.

Voici quelques exemples d’énoncés auxquels il faut porter une grande attention.


1. Si on dit « trois fois plus de chats que de chiens », on peut écrire l’équation suivante:   

Chats = 3 fois chiens

La relation entre le nombre de chats et de chiens sera :
Si n est le nombre de chiens, le nombre de chats est 3n.

 
2. Si on dit « trois fois moins de chiens que de chats », on peut écrire l’équation suivante:

Chiens = 1/3 fois chats

La relation entre le nombre de chiens et de chats sera :
Si m est le nombre de chats, le nombre de chiens est |\frac{m}{3}| ou |\frac{1}{3}\cdot m|.
 
 
3. Si on dit « Luc a quatre ans de plus que Kim », on peut écrire l’équation suivante:   

Âge de Luc  =  âge de Kim + 4

La relation entre l’âge de Luc et l’âge de Kim sera :
Si x est l’âge de Kim, l’âge de Luc est x + 4.
 
4. Si on dit « Kim a quatre ans de moins que Luc », on peut écrire l’équation suivante:  
          
Âge de Kim  =  âge de Luc – 4

La relation entre l’âge de Kim et l’âge de Luc sera :
Si y est l’âge de Luc, l’âge de Kim est y – 4.

Comme on peut le voir, les relations dépendent d’expressions du type :

fois plus (multiplication)
fois moins (division)
de plus (addition)
de moins (soustraction)

Dans deux ans, Charles aura la moitié de l'âge que Dany aura à ce moment. Quelle équation traduit cette situation?

1. On identifie les variables (ce qui peut varier dans le problème) :
 
variable 1 : l'âge de Charles en ce moment (x);
variable 2 : l'âge de Dany en ce moment (y).

2. On identifie la relation entre les variables :
 
Dans deux ans, Charles aura la moitié de l'âge de Dany aura à ce moment.
On peut aussi dire que l'âge de Charles actuellement plus 2 ans sera égale à la moitié de l'âge de Dany actuellement, plus deux ans.

3. On traduit cette relation par une équation :

L'âge de Charles dans deux ans = 1/2 x l'âge de Dany dans deux ans.

|x+2=\frac{1}{2}(y+2)|

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse