La représentation des inéquations dans un plan cartésien

La représentation d’une inéquation du premier degré à une variable dans un plan cartésien.

On doit se souvenir qu’une droite peut être horizontale ( y = constante ) ou encore verticale ( x=constante).

Règle pour tracer une inéquation

1. On représentera tout d’abord la droite dans le plan cartésien, comme si l’on avait une égalité.

2. Si le signe de l'inéquation est |\leq, \geq|, on tracera une droite avec une ligne pleine. Cela veut dire que les points sur la droite font partie de la solution.

3. Si le signe de l'inéquation est <,> , on tracera une ligne pointillée. Les points sur la droite ne font pas partie de la solution.

4.Puisqu’il existe une infinité de points dans le plan cartésien qui peuvent répondre à cette contrainte et qu’il est impossible de tous les définir précisément, on hachurera la portion du plan cartésien qui illustre toutes ces possibilités.

y>2 

                                              
|y\geq2|


x>1


|x\geq1|

 

La représentation d’une inéquation du premier degré à deux variables dans un plan cartésien.

Voici les trois règles à respecter pour tracer une inéquation.

1. On représentera tout d’abord la droite dans le plan cartésien, comme si l’on avait une égalité.

2. On tracera une ligne pleine si le signe est |\geq,\leq| et une ligne pointillée si le signe est <,>

3. On prend un point dans la plan cartésien et on le valide dans l'inéquation. Si le résultat est vrai, on hachure du même côté que le point sinon on hachure de l'autre côté.





1. On représentera tout d’abord la droite dans le plan cartésien, comme si l’on avait une égalité.




2.Comme le signe est >,on tracera une ligne pointillée.
   Truc: Effacez des bouts de la ligne à l'étape précédente


3. On prend un point dans la plan cartésien et on le valide dans l'inéquation.

Prenons le point (0,0)


On remplace x et y dans l'équation par les coordonnées du point et on résout
0>3\cdot0+6

0>0+6

0>6

0 n'est pas plus grand que 6 donc le point 0,0 ne fait pas partie de la solution, on hachure donc de l'autre côté de la droite.


La représentation de deux inéquations du premier degré dans un plan cartésien.

Lorsque l'on représente deux inéquations dans un plan cartésien, on se retrouve avec une zone où les zones hachures se rencontrent se qui représente l'ensemble solution.

Soit les deux inéquations suivantes:


y > 2x - 2                                                        y < -2x + 3

1. On trace les deux inéquations comme si elle était des équations


2. Puisque les signes sont >,<, les drtoies seront pointillées.


3. On détermine les zones à hachurer. Prenons le point (0,0) pour les deux équations

0>2·0-2                                                          0<-2·0+3

0>-2                                                               0<3
Vrai                                                                Vrai

Dans les deux cas, la situation est vrai donc on hachure vers le point (0,0) pour les deux inéquations. 


Là ou les zones hachures se rencontrent représente l'ensemble solution.

Les exercices

QUESTION 1

manuel a recu 20$ en cadeau pour s'acheter des cartes de sa serie prefere.Les cartes de la serie lizbits coutent 0.10$ de plus que les cartes de la serie chabouzz .Au marche pouces, il a achete 6 cartes de chabouzz et 22 cartes de lixbits.Combien coute une carte de chabouzz sachant que manuel n'a pas depense tout son argent et que le prix minimum d'une carte es de 0,60$ ?

RÉPONSE 1

Posons nos variables...

c : prix d'une carte Chabouzz

c + 0,10 : prix d'une carte Lizbits

posons maintenant nos inéquations...

il a achete 6 cartes de chabouzz et 22 cartes de lixbits.Combien coute une carte de chabouzz sachant que manuel n'a pas depense tout son argent

peut se traduire par ...

6c + 22 (c + 0,10) <= 20

Tu peux isoler c.

le prix minimun d'une carte est de 0,60$

c => 0,6

Simon

QUESTION 2

Dans l'un de ses champs, une cultivatice a décidé d'aménager un pré pour ses vaches. son pré aura 80 m de longueur, mais il lui reste encore a déterminer la largeure. Elle souhaite que le périmètre de son pré soit inférieur à 240 m. En même temps, elle voudrait que l'aire soit supérieur à 3 000 m2. Quelles sont les largeurs possibles pour le pré?

RÉPONSE 2

Allons-y par étape: longueur = 80 , largeur = a

Périmètre du champs --> P = 2a + 2·80 = 2a + 160
Aire du champs --> A = 80a

On veut que le périmètre du champ soit inférieur à 240:

2a + 160 < 240 --> 2a < 240 - 160 --> a < 80 / 2 --> a < 40

On veut que l'aire soit supérieure à 3000:

80a > 3000 --> a > 3000 / 80 --> a > 37.5

Donc, a > 37.5 et a < 40. Donc, n'importe quelles largeurs entre 37.5 m et 40 m sont satisfaisantes. Note que a = 37.5 et a = 40 ne sont pas des valeurs acceptables car l'énoncé n'a jamais mentionné "inférieur ou égal" ni "supérieur ou égal".

Donc, en général, tu traites les inéquations comme si c'étaient des égalités sauf que:
- tu remplaces le signe d'égalité (=) par le signe approprié (>, >=, <, <=)
- si en voulant isoler la variable tu dois multiplier ou diviser par un nombre négatif, tu dois alors inverser le signe:
   > devient <= (et vice-versa)
   < devient >= (et vice-versa)

Dans le présent problème, on n'a pas eu à multiplier ou diviser par un nombre négatif quelconque, donc nous n'avons pas eu à changer les signes.

Martin Lemieux


Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse