La simplification des fractions rationnelles

 

 

Une fraction rationnelle a la même forme qu’une division de deux polynômes.

|\frac{2x+3}{x^{2}+6x+8}|

Avant d’effectuer diverses opérations sur des fractions rationnelles, il est toujours bon de s’assurer que la fraction rationnelle a été simplifiée . Pour ce faire on suit la démarche suivante :

1. On factorise les polynômes au numérateur et au dénominateur.

2. On simplifie les facteurs communs aux deux polynômes.

La maîtrise des différentes techniques de factorisation est un élément clé pour réussir à simplifier des fractions rationnelles.

Dans une fraction rationnelle, il faut poser des restrictions. En effet, le dénominateur d’une fraction rationnelle doit être différent de 0. Une division par 0 n’existe pas. C’est une valeur non définie.

Il faut donc identifier les valeurs possibles que peuvent prendre les variables du polynôme du dénominateur pour que ce polynôme nous donne une valeur 0.

Soit le polynôme suivant:

|\frac{x-7}{x-3}|

 x – 3 est le dénominateur.

Posons la restriction

x-3≠0
x≠3

On ne peut pas attribuer la valeur 3 à la variable x, car sinon la fraction aurait alors une valeur non définie.

Soit l'équation suivante:

|\frac{x^{2}+10x+25}{x^{3}+5x^{2}}|

On peut simplifier le trinôme au numérateur par la technique du produit et de la somme


|\frac{x^{2}+5x+5x+25}{x^{3}+5x^{2}}|
 

|\frac{x(x+5)+5(x+5)}{x^{3}+5x^{2}}|
 
On fait une mise en évidence simple avec le dénominateur


|\frac{x(x+5)+5(x+5)}{x^{2}(x+5)}|
 


|\frac{(x+5)(x+5)}{x^{2}(x+5)}|

Puisqu'on a le terme x+5 en haut et en bas, on peut le simplifier et cela donnera le résultat suivant:

|\frac{(x+5)}{x^{2}}|

Les exercices

QUESTION 1

Determine les restriction à imposer aux variables et simplifie la fraction rationelle suivante :

RÉPONSE 1

Pour poser nos restrictions (on ne veut pas un dénominateur qui vaut 0) on factorise en premier et par la suite on pose les bonnes restrictions.

5x-20

2x-8

Factorisons en haut et en bas par une mise en évidence simple de 5 en haut et de 2 en bas.

5(x-4)

2(x-4)

Posons notre restriction :

x-4 différent de 0

x différent de 4

Si tu on met un "x" qui vaut 4 on aurait un dénominateur 0 ce que l'on ne veut pas.

Maintenant on peut simplifier nos (x-4) ensemble il reste donc :

5/2

Dominik


Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse