L'addition et la soustraction de fractions rationnelles

Pour additionner ou soustraire deux fractions rationnelles, on doit suivre la démarche suivante :

1. On factorise les polynômes au numérateur et au dénominateur de chacune des fractions.

2. On pose toutes les restrictions (dénominateurs différents de 0).

3. On simplifie les facteurs communs dans chacune des fractions (si possible).

4. On trouve un dénominateur commun .

5. On effectue l’addition ou la soustraction.

6. On factorise à nouveau les numérateurs et les dénominateurs (si nécessaire).

7. On simplifie à nouveau les facteurs communs. (si nécessaire).

Soit l’addition des fractions rationnelles suivantes :



1. Les polynômes au numérateur et au dénominateur sont déjà factorisés.

2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de x pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de 0.


3. Il n’y a pas de facteurs communs à simplifier dans chacune des fractions.

4. Trouvons un dénominateur commun.

Il manque le facteur (x-1) au dénominateur de la première fraction et il manque le facteur (x-2) au dénominateur de la deuxième fraction pour qu’elles aient le même dénominateur. Transformons les deux fractions en fraction équivalente pour qu’elles aient le même dénominateur.


5. Additionnons les deux fractions.



6. Le numérateur ne se factorise plus.

7. Il n’y a pas de facteurs communs alors la simplification s’arrête ici.

Nous donnerons donc la réponse suivante en n’oubliant pas de donner les restrictions que nous avions trouvées initialement.




Soit l’addition des fractions rationnelles suivantes :


1.On peut factoriser les deux polynômes des dénominateurs. On factorisera x²+3x+2 par un cas de trinôme et x²-1 se factorisera à l’aide d’une différence de carrés.


Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :


2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de x pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de 0.


3. Il n’y a pas de facteurs communs à simplifier dans chacune des fractions.

4. Trouvons un dénominateur commun.

Il manque le facteur (x-1) au dénominateur de la première fraction et il manque le facteur (x+2) au dénominateur de la deuxième fraction pour qu’elles aient le même dénominateur. Transformons les deux fractions en fraction équivalente pour qu’elles aient le même dénominateur.


5 Additionnons les deux fractions.


6. Le numérateur ne se factorise plus.

7. Il n’y a pas de facteur commun alors la simplification s’arrête ici.

Nous donnerons donc la réponse suivante en n’oubliant pas de donner les restrictions que nous avions trouvées initialement.

Soit la soustraction des fractions rationnelles suivantes :


1. On peut factoriser les deux polynômes des dénominateurs. On factorisera x²+2x+1 par un cas de trinôme et x²+4x+3 se factorisera aussi à l’aide d’un cas de trinôme.


Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :


2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de x pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de 0.


3. On peut simplifier des facteurs communs.


4. Les deux fractions ont le même dénominateur.

5. Soustrayons les deux fractions.


6. Il n’y plus rien qui se factorise.

7. Il n’y rien d’autre que l’on peut simplifier.

Nous donnerons donc la réponse suivante en n’oubliant pas de donner les restrictions que nous avions trouvées initialement.

Réponse : 0

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse