La division de fractions rationnelles

Pour diviser deux fractions rationnelles, on doit suivre la démarche suivante :

1. On factorise les polynômes au numérateur et au dénominateur de chacune des fractions.

2. On transforme la division en une multiplication en inversant la fraction de droite et en changeant le signe divisé pour un fois.

3. On pose toutes les restrictions (dénominateurs différents de 0).

4. On simplifie les facteurs communs dans chacune des fractions (si
possible).

5. On effectue la multiplication.

Soit la division des fractions rationnelles suivantes :


1. Il faut factoriser les polynômes au numérateur et au dénominateur. Le polynôme x²+8x+16 se factorisera par un cas de trinôme. Le polynôme 2x³+8x²-3x-12 se factorisera par une mise en évidence double.


Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :


2. On transforme la division en une multiplication.


3. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de x pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de 0.


4. Il y a des facteurs communs que l’on peut simplifier. Puisque tous ces facteurs se multiplient entre eux, nous pouvons simplifier les facteurs dans l’une ou l’autre des fractions.


5. Multiplions les deux fractions.


Nous donnerons donc la réponse suivante en n’oubliant pas de donner les restrictions que nous avions trouvées initialement.




Soit la division des fractions rationnelles suivantes :


1. Il faut factoriser les polynômes au numérateur. Le polynôme c³-cd² se factorisera par une mise en évidence simple suivie d’une différence de carrés.


Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :


2. On transforme la division en une multiplication.


3. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de x pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de 0.


4. Il y a des facteurs communs que l’on peut simplifier. Puisque tous ces facteurs se multiplient entre eux, nous pouvons simplifier les facteurs dans l’une ou l’autre des fractions.


5. Multiplions les deux fractions.


Nous donnerons donc la réponse suivante en n’oubliant pas de donner les restrictions que nous avions trouvées initialement.


Les exercices

QUESTION 1

Que donne : (1+1/x) / (1/x² + 1/x³)

RÉPONSE 1

On a : (1 + 1/x) / (1/x2 + 1/x3)

Multiplie par x3 / x3 ton expression.  On fait :
x3 (1 + 1/x)

et on obtient...
x3 + x2

et si on fait :
x3 (1/x2 + 1/x3)

on obtient...
x + 1

On se retrouve donc avec :
(x3 + x2) / (x + 1)

Mais en mettant x2 en évidence au numérateur :
x2 (x + 1) / (x + 1)

Il reste :
x2

Simon

QUESTION 2

Il faut simplifier ceci :

2x³ - 2x  ÷ 2x² + 2x
x + 5         x² + 10x + 25

RÉPONSE  2


QUESTION 3

Simplifie cette fraction rationnelle à sa plus petite forme :
(4x-2)/(2x2-5x+2)

RÉPONSE 3

4x-2)--->On sort 2

(2x²-5x+2) ---> Double mise en évidence

Voici mes étapes :

2x²-5x+2

Produit-somme

P : 2  S : -5

M : -1 N : -4

(2x²-x)(-4x+2)

Mise en évidence simple :

(x)(2x-1)(-2)(2x-1)

(x-2)(2x-1)

2(x-1)

(x-2)(2x-1)

On simplifie les (2x-1) ensemble, il reste :

2      

(x-2)

Dominik


Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse