La multiplication de fractions rationnelles

Pour multiplier deux fractions rationnelles, on doit suivre la démarche suivante :

1. On factorise les polynômes au numérateur et au dénominateur de chacune des fractions.

2. On pose toutes les restrictions (dénominateurs différents de 0).

3. On simplifie les facteurs communs dans chacune des fractions (si possible).

4. On effectue la multiplication.

Soit la multiplication des fractions rationnelles suivantes :


1. Il faut factoriser les polynômes au numérateur et au dénominateur. Les quatre polynômes se factoriseront par des cas de trinômes.


Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :


2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de x pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de 0.


3. Il y a des facteurs communs que l’on peut simplifier. Puisque tous ces facteurs se multiplient entre eux, nous pouvons simplifier les facteurs dans l’une ou l’autre des fractions.


4. Multiplions les deux fractions.


Nous donnerons donc la réponse suivante en n’oubliant pas de donner les restrictions que nous avions trouvées initialement.



Soit la multiplication des fractions rationnelles suivantes:


1. Il faut factoriser les polynômes au numérateur et au dénominateur. Les quatre polynômes se factoriseront par des cas de trinômes.


Ce qui donne maintenant les deux fractions suivantes :


2. On doit poser les restrictions. Trouvons les valeurs de x pour lesquelles les dénominateurs auraient une valeur de 0.


3. Il y a des facteurs communs que l’on peut simplifier. Puisque tous ces facteurs se multiplient entre eux, nous pouvons simplifier les facteurs dans l’une ou l’autre des fractions.


4. Multiplions les deux fractions.


Nous donnerons donc la réponse suivante en n’oubliant pas de donner les restrictions que nous avions trouvées initialement.


Les exercices

QUESTION 1

Simplifie l'opération suivante :

        x _____     ·      2x + 10

(x2 + 8x + 15)               x²         

RÉPONSE1

Il faut effectivement factoriser le dénominateur de la première fraction et faire une mise en évidence simple de l'expression 2x + 10. On a donc:

          x ___     ·      2x + 10

(x2 + 8x + 15)              x2


qui devient...

     x ________         ·          2(x + 5)

(x + 3) (x + 5)                            x2


On peut donc simplifier ainsi:

                 1_________  ·  2

              (x + 3)                x


Ce qui donne:

    2___  ou         2___

  x(x + 3)        x2 + 3x

où x ne peut être égale à 0 et à -3


Nancy, Allô Prof


Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse