La division d'expressions algébriques

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La division en algèbre

La division d’un polynôme par un polynôme ou une fraction rationnelle

La division de polynôme

Pour diviser des expressions algébriques, il est essentiel de bien maîtriser les propriétés et les opérations sur les exposants.
 
Lors d’une division :

  • On divise les coefficients ensemble;
  • On soustrait les exposants d’une même base.

 

La division d’un monôme par un terme constant

Lorsqu’on divise un monôme par un terme constant, on divise les coefficients.

|=12xy^{2}\div3|

|=\frac{12xy^{2}}{3}|

|=4xy^{2}|

La division d’un monôme par un monôme

Lorsqu’on divise un monôme par un monôme, on divise les coefficients. On soustrait les exposants des mêmes bases.




|=25x^{3}y^{9}z\div5x^{3}y^{6}|

|= \frac{25x^{3}y^{9}z}{5x^{3}y^{6}}|

|= 5y^{3}z|

La division d’un polynôme par un monôme

Lorsqu’on divise un polynôme par un monôme, on divise chacun des termes du polynôme par le monôme. Pour chacune des divisions, on divise les coefficients et on soustrait les exposants des mêmes bases.

On divise chacun des termes du polynôme par le monôme.


On peut réécrire cette division de la façon suivante :


Pour chacune des divisions, on divise les coefficients et on soustrait les exposants des mêmes bases.


On réécrit le tout correctement.
 
On ne doit jamais laisser des exposants négatifs.  On doit utiliser la propriété des exposants suivante pour les rendre positifs.  S’ils sont au dénominateur, ils vont au numérateur et vice-versa.

La division d’un polynôme par un polynôme ou une fraction rationnelle

Lorsqu’on divise un polynôme par un polynôme, on procède comme pour une division commune.
Soit les polynômes suivants:

2x² + 2x3y+ 4x²y² + 4xy  et  x + 2y.

En ordonnant les polynômes, on obtient la division suivante.


On commence par diviser le terme le plus à gauche de chaque expression. Il est encerclé sur l’image ci-dessous.


On multiplie le quotient trouvé par le diviseur.



On soustrait les deux expressions du polynôme de départ.



On recommence les mêmes étapes pour les deux autres termes encerclés.
On divise le terme le plus à gauche de chaque expression. Ils sont encerclés sur l’image ci-dessous.



Réponse finale : 2x²y + 2x.


Division d’un polynôme par un polynôme avec un reste

Soit les polynômes suivants:
3x² + 7x+ 1  et  x + 2





Dans l’exemple ci-dessus, il reste -1 et il n’est plus possible de diviser -1 par x.  C’est pourquoi, on arrête la division algébrique.

On peut écrire la réponse obtenue de deux façons :

3x + 1 reste -1

ou


Les exercices

QUESTION 1

Quand ont a un calcul du genre (2s-3s) x (2s + 3s) =45-95 qu'est-ce qui faut faire ?

RÉPONSE 1

(2s - 3s) · (2s + 3s) = 45-95

cela donne évidemment :

(2s - 3s) · (2s + 3s) = -50

Ensuite il faut que chaque membre du premier binôme multiplie chaque membre du deuxième :

(2s)(2s) + (2s)(3s) - (3s)(2s) - (3s)(3s) = -50

Simon

QUESTION 2

Que donne 4x * x ² ?

RÉPONSE 2

Lorsque tu multiplies des monômes, tu multiplies les coefficients et appliquent les lois des exposants aux variables.

4x · x2

Le coefficient : 4 · 1 = 4
Les variables : on a x1 · x2
J'additionne les exposants.  Le résultat est donc x3.
Au final, ça donne 4x3.

Simon

QUESTION 3

Avec l'expression (15x+20)÷5, comment la réduit-on ?

RÉPONSE 3

Dans ton exemple, il s'agit de trouver comment on peut réduire 15x + 20, soit l'expression dans la parenthèse.

Il faut tenter d'extraire un facteur commun aux 2 termes. Si tu connais moindrement tes tables de multiplications, tu dois savoir que 15 et 20 sont en fait des multiples de 5:

15x + 20 = 5·3x + 5·4

Donc 5 est un facteur commun de 15 et 20 et on peut donc le mettre en évidence:

15x + 20 = 5·(3x + 4)

Puisque l'expression originale est:

(15x + 20)÷5

on a maintenant:

(15x + 20)÷5 = (5·(3x + 4))÷5 = 5·(3x + 4)÷5

Les deux 5 se compensent (5÷5=1) et il ne reste que:

(15x + 20)÷5 = 3x + 4

Martin Lemieux

QUESTION 4

Comment arrive-t-on à calculer ça : 2 ( 3a²b³ • 4ba³)

RÉPONSE 4

Dans une équation comme celle-là, quelques trucs:

1- lorsqu'il y a addition ou soustraction, on peut faire quelque chose seulement si ce sont des termes semblables: même lettre, même exposant. Si c'est le cas, on additionne seulement les coefficients (le nombre devant les variables);

2- Lorsqu'il y a multiplication et division: on multiplie ensemble les coefficients, pour les variables, lorsqu'il y a multiplication, le truc c'est d'additionner les exposants des termes semblables, et de les soustraire lorsqu'il y a division.

Ton exemple:
2 ( 3a²b³ • 4ba³)

Comme il y a une multiplication dans la parenthèse, c'est la première étape à faire:

On multiplie d'abord les coefficients: 12
Ensuite: a2 fois a3 = a5
Ensuite: b3 fois b = b4

L'intérieur de la parenthèse donne: 12a5b4

2 (12a5b4)

on multiplie par 2:

24a5b4

Caroline, Allô Prof

QUESTION 6

Comment on fait pour multiplier un tout : 2(4a + 5b - c) = ???

RÉPONSE 6

Lorsque tu as un chiffre placé de cette façon devant une parenthèse il agit comme une multiplication sur chacun des termes à l'intérieur de la parenthèse.

De façon toute simple, prend le 2 et prend chaque terme de la parenthèse et multiplie les un par un par 2. C'est ce que l'on appelle la distributivité de la multiplication.

2(4a+5b-1c) = ?

On va y aller au long :

2 X 4a = 8a

2 X 5b = 10b

2 X -1c = -2c

Réponse finale : 8a+10b-2c

Il faut faire attention avant de faire les multiplications. Tu dois regarder dans la parenthèse si tu peux réduire les termes semblables (même variable affectée des mêmes exposants).

Dominik

QUESTION 7

Quelle est la réponse de cete division :

a2y3

-------

a-4y3

RÉPONSE 7

Pour une même base (une même variable), je dois soustraire les exposants ainsi: celui du numérateur moins celui du dénominateur. Dans ton cas, on aura:

1) a2 ÷ a-4 ------> a(2-(-4)) = a6

2) y3 ÷ y3 -------> y(3-3) = y0 = 1

Tu sais, ton problème aurait pu se noter sans fraction, c'est-à-dire sur une seule ligne. On aurait ainsi:

a2y3a4y-3.

Pour monter les termes du dénominateur, j'ai simplement changé les signes des exposants. En regroupant les bases semblables, on a:

a2a4y3y-3

a(2+4)y(3+(-3)) = a6y0 = a6

Quelle que soit la démarche utilisée, ta réponse finale est donc a6.

Nancy, Allô Prof


Les références

Mise à jour : 27 juin 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 3, secondaire 4
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse