La méthode de comparaison



On privilégie généralement la méthode de résolution d’un système d’équations par comparaison lorsque les deux variables dépendantes (y1 et y2 ) sont déjà isolées. Autrement dit lorsque le système a la forme suivante :


Comme la résolution d’un système consiste à trouver la valeur de x pour laquelle y 1 et y 2 ont la même valeur (y1 = y2 ), on posera directement :


On obtient ainsi une équation où il n’y a qu’une variable.


Il arrive parfois que l’on procède à quelques manipulations algébriques pour arriver à isoler la variable dépendante (y).

Prenons le système d’équations linéaires suivant:


Pour utiliser la méthode de comparaison, il faut tout d’abord isoler y 1 dans la première équation.


Nous pouvons effectuer la comparaison .


Il faut maintenant isoler x pour en connaître la valeur.


On substitue dans une des équations de départ la valeur trouvée de x. Ce qui nous permettra de trouver la valeur des variables dépendantes (y 1 et y 2 ).

On peut substituer la valeur de x dans n’importe laquelle des équations de départ, par contre, pour effectuer une vérification supplémentaire il peut être intéressant de substituer x dans les deux équations de départ. On devrait obtenir la même valeur pour y 1 et y 2 . Si ce n’est pas le cas, nous avons alors commis une erreur dans notre parcours.


La solution à notre système d’équation est le couple (7, 16).

Les exercices

QUESTION 1

Une petite entreprise dispose de deux imprimantes: un modèle au laser qui imprime 5 pages à la minute et un modèle à jet d'encre qui imprime 4 pages à la minute. Aujourd'hui, le modèle au laser est en réparation et on ne pourra l'utiliser qu'à partir de 14:30. À 14:15, une employée veut imprimer un document sur disquette?

a)À quelle heure le document sera-t-il imprimé au complet, qu'on imprime tout de suite avec le modèle à jet d'encre ou que l'on attende 15 min pour imprimer avec le modèle au laser?

b)Combien de pages y avait-il à imprimer?

RÉPONSE 1

J'imagine qu'il manque une information pour bien répondre à la question.  Si, cependant, la question est à quelle heure le document sera terminé et combien de pages avait-il sachant que ça aurait pris le même temps avec la laser ou la jet d'encre.

Dans 15 min, l'imprimante au laser commencera à imprimer tandis que l'imprimante à jet d'encre aura déjà 60 pages (4 pages par min) d'imprimées.

y : nb de pages

x : temps en min

Les deux équations, dans 15 min, seront :

y = 4x + 60

y = 5x

4x + 60 = 5x

60 = x

Il faudrait donc qu'il s'écoule 60 min plus les 15 min du départ, soit 75 minutes.

Le document aura quant à lui 300 pages.

y = (4 · 60) + 60 = 300

y = 5 · 60 = 300

Simon

QUESTION 2

Benoît quitte la maison pour se rendre à son travail à bicyclette. Quinze minutes après son départ, Fannie constate que Benoît a oublié ses clefs. Elle décide de le rejoindre en voiture.

a) Si Benoît roule à une vitesse moyenne de 20km/h et Fannie à une vitesse moyenne de 40km/h, dans combien de temps Fannie aura-t-elle rejoint Benoît?

b) À quelle distance de la maison Fannie et Benoît se rencontreront-ils?

RÉPONSE 2

Remarque tout de suite que 15 min = 1/4 d'heure

Dans 15 min, Benoît aura parcouru cinq kilomètres

20 · 1/4 = 5

L'équation de Benoît, dans 15 min, sera donc :

y = 20x + 5

où y est la distance en km et x le temps en heure.

Par ailleurs, dans 15 min, l'équation de Fannie sera simplement :

y = 40x

On pose :

20x + 5 = 40x

5 = 20x

1/4 = x

Fannie rejoint donc Benoît 15 min après être partie.  Elle était partie 15 min après Benoît.  Elle le rejoint donc 30 min après que Benoît soit parti.

Ils auront fait 10 km

y = 40(1/4) = 10

y = 20(1/4) + 5 = 10

Simon

QUESTION 3

Les méthodes pour résoudre un système linéaire, ça fonctionne comment ?

RÉPONSE 3

"Système" alors ça implique minimum deux équations. "Relation linéaire", donc des fonctions linéaires (ou équations si t'aimes mieux) de forme y = ax+k  (x et y étant des variables, et a et k sont des paramètre).

Voici un exemple:

"La somme de deux nombres est de 25 et la différence est de 8."

Pour résoudre ça avec un système, il te faut deux variables. Identifions-les:

x: le premier nombre (y>x)             y: le deuxième nombre (et on sait que y<x)

Notre système d'équation ressemblerait à:

x+y = 25  alors           x = 25-y                         x-y = 8 alors si on isole:   x = 8 + y

On peut résoudre cela par un système. Il existe 3 méthodes algébrique : la comparaison, la substitution et la réduction.

Par Comparaison:

On pose x = x, puisque c'est le même nombre. Donc:   25-y = 8 + y Tu te retrouve alors avec une seule variable. Tu l'isoles. Puis tu remplaces la valeurs de y que t'as trouvé et tu cherches la valeurs de x. Si tu résous, tu vas trouver que y=16,5

Tu remplaces dans une des équations:  x = 8 + 16,5 et tu trouves que x = 8,5

Par Substitution:

Par exemple, on a  y = -x+3   et   2x+5y = 1

Tu peux remplacer le y de la 2e équation par la première équation (puisque y=y), ce qui te donnerai une seule équation à une seule variable:

2x+5(-x+3) = 1

Ensuite, tu résous et tu trouves que x=14/3. Alors tu prends y = -x+3  et tu substitues x :

y = -(14/3)+3  pour trouver la valeur de y, ce qui devrait te donner y = -5/3

Par réduction:

Voici 2 équations:

a) 3x + 4y = 9         et         b) 6x + 5y = 12

On va multiplier l'équation a) pour obtenir la même quantité de x. On a alors:  2a: 6x + 8y = 18

Puis on résous en soustrayant les équation 2a et b.

2a - b : 

6x + 8y - (6x + 5y ) = 18-12

3y =6

y=2

Puis on cherche x :

3x+8 = 9

x= (1/3)

Puisque ce sont des droites linéaires, tu peux avoir soit: Aucune solution (si les droites ne se croisent pas, alors fais attention. Tu peux toujours tracer les graphiques pour t'aider.), 1 seule solution (si les droites sont sécantes) ou une infinité de solutions si tes droites sont confondues, car n'oublies pas que les équations de ces systèmes représente une droite, soit une fonction.

Nina

QUESTION 4

Trouve le point d'intersection entre ces deux droites :
y1 = -8x + 150 et y2 = -6x + 245

RÉPONSE 4

Il suffit d'égaliser les deux équations et d'isoler la valeur de x, soit:

-8x + 150 = -6x + 245

 -8x + 150 + 8x = -6x + 245 + 8x

 -8x + 150 + 8x -245 = -6x + 245 + 8x -245

-95 = 2x

-95 = 2x

 2        2

-47,5 = x

Quelles sont les valeurs de y associées à x = -47,5 ? Pour le savoir, il suffit de reprendre nos équations de départ.

y1 = -8x + 150

y1 = -8 (-47,5) + 150

y1 = 530

y2 = -6x + 245

y2 = -6 (-47,5) + 245

y2 = 530

Le point d'intersection est donc (-47,5; 530)

Nancy, Allô Prof

QUESTION 5

J'ai a résolvez les deux équations suivantes ensemble pour trouver la valeur de x et celle de y, je ne sais pas quoi faire.

1/4x + 1/3y = 2 et 1/y - 1/2x = 1

RÉPONSE 5

On peut isoler y dans chaque équation et faire de la substitution.

1 / (4x) + 1 / (3y) = 2

1 / (3y) = 2 - 1 /(4x)

En mettant sur même dénominateur :

1 / (3y) = (8x - 1) / (4x)

En inversant :

3y / 1 = 4x / (8x - 1)

y = 4x / (24x - 3)

Pour la deuxième équation :

1 / y - 1 / (2x) = 1

1 / y = 1 + 1 / (2x)

1/ y = (2x + 1) / (2x)

y = (2x) / (2x + 1)

On résout le système d'équations :

(2x) / (2x + 1) = (4x) / (24x - 3)

(2x)(24x - 3) = (4x)(2x + 1)

48x2 - 6x = 8x2 + 4x

40x2 - 10x = 0

(10x)(4x - 1) = 0

Il y a donc deux solutions, 0 et 1/4

Mais on doit refuser 0, parce que si tu remarques bien avec nos équations initiales, on n'a pas le droit de diviser par 0.  En calculant la valeur de y avec une des deux équations, on trouve que la la solution est (1/4, 1/3).

Simon


Les références

Exercices pour traduire en équations


Mise à jour : 27 juin 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 3, secondaire 4
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse