La méthode de réduction (élimination)

 

On privilégie généralement la méthode de résolution d’un système par réduction lorsque les deux variables dépendantes et indépendantes du système ne sont pas isolées. Autrement dit lorsque le système a la forme suivante :

 


Avec cette méthode, on cherche à faire en sorte que, par des manipulations algébriques, le coefficient devant l’une des variables soit le même dans les deux équations. Ensuite, on soustrait les deux équations, éliminant ainsi la variable ayant un même coefficient.

Soit le système d’équations linéaires suivant :


On veut que les coefficients d’une des deux variables deviennent égaux, alors on choisit une variable. Dans notre exemple on a choisi la variable dépendante y. On commence par effectuer l’opération qui rend les coefficients devant y égaux . Cela signifie qu’on multiplie tous les termes de l’une des deux équations par la constante appropriée. Ici, on peut multiplier la deuxième équation par la constante     (-3) :


On soustrait maintenant les deux équations, éliminant ainsi la variable y :


On isole la variable qu'il nous reste, la variable x dans notre cas, pour en connaître la valeur :


Maintenant que l'on connaît la valeur de x, on substitue x par cette valeur dans l’une des deux équations de départ afin de trouver la valeur de y. Comme pour les autres méthodes, il est recommandé de substitué x dans les deux équations pour effectuer une vérification. Si le résultat n’est pas le même pour les deux équations, c’est signe que nous nous sommes trompés en quelque part.


Le couple solution est donc |(\frac{8}{5},\frac{34}{25})|

Au lieu de multiplier la deuxième équation par (-3) nous aurions pu multiplier la deuxième équation par (3). Ensuite, au lieu de soustraire nous devrions additionner les deux équations. Tout ceci nous mènera au même résultat. Regardez bien.


Additionnons maintenant les deux équations.


Isolons la variable x maintenant.


Nous obtenons le même résultat. L’important dans la méthode de réduction, c’est de pouvoir faire disparaître une des deux variables du système d’équation.

Les exercices

QUESTION 1

J'ai a résolvez les deux équations suivantes ensemble pour trouver la valeur de x et celle de y, je ne sais pas quoi faire.

1/4x + 1/3y = 2 et 1/y - 1/2x = 1

RÉPONSE 1

On peut isoler y dans chaque équation et faire de la substitution.

1 / (4x) + 1 / (3y) = 2

1 / (3y) = 2 - 1 /(4x)

En mettant sur même dénominateur :

1 / (3y) = (8x - 1) / (4x)

En inversant :

3y / 1 = 4x / (8x - 1)

y = 4x / (24x - 3)

Pour la deuxième équation :

1 / y - 1 / (2x) = 1

1 / y = 1 + 1 / (2x)

1/ y = (2x + 1) / (2x)

y = (2x) / (2x + 1)

On résout le système d'équations :

(2x) / (2x + 1) = (4x) / (24x - 3)

(2x)(24x - 3) = (4x)(2x + 1)

48x2 - 6x = 8x2 + 4x

40x2 - 10x = 0

(10x)(4x - 1) = 0

Il y a donc deux solutions, 0 et 1/4

Mais on doit refuser 0, parce que si tu remarques bien avec nos équations initiales, on n'a pas le droit de diviser par 0.  En calculant la valeur de y avec une des deux équations, on trouve que la la solution est (1/4, 1/3).

Simon

QUESTION 2

Il faut résoudre ce système avec la méthode du substitution :
0.3x + 0.4y = 14.5

0.4x +  0.3y = 13.5

On s'y prend comment au juste ?

RÉPONSE 2

1)  0.3x + 0.4y = 14.5

2) 0.4x +  0.3y = 13.5

Isolons le "y" dans la première équation :

0.3x + 0.4y = 14.5

0.4y = -0.3x + 14.5

On divise par 4 des deux côtés :

y = -0.75x + 36.25

On remplace dans la seconde équation :

0.4x +  0.3(-0.75x + 36.25) = 13.5

0.4x - 0.225x + 10.875 = 13.5

0.175x + 10.875 = 13.5

On isole la valeur de "x"

0.175x = 2.625

x = 15

Tu peux maintenant trouver la valeur de "y".

Dominik


Les références

Exercices pour traduire en équations


Mise à jour : 27 juin 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 3, secondaire 4
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse