La méthode de substitution



On privilégie généralement la méthode de résolution d’un système par substitution lorsqu’une seule des deux variables dépendantes est isolée. Autrement dit le système a la forme suivante

 

La méthode de substitution consiste à remplacer la valeur de y dans l’équation qui n’est pas isolée par la valeur de y de l’autre équation isolée. Un petit schéma s’impose pour mieux visualiser.

Soit le système d’équations suivant :


Pour commencer on isole une variable dans l’une des deux équations si ce n’est pas déjà fait. C’est déjà fait dans notre exemple.

On remplace alors cette variable dans l’équation où elle n’est pas isolée par la valeur à laquelle elle est égale dans l’autre équation.


On isole la variable x pour en calculer la valeur.


On substitue la valeur que l’on vient de déterminer pour x dans l’une des équations de départ pour déterminer la valeur de y. Il est évidemment plus simple d’utiliser l’équation où la variable y était déjà isolée.


Le couple solution est donc |(\frac{-5}{8},-1)|

Les exercices

QUESTION 1

J'arrive pu du tout a résoudre des equations avec les methodes algébrique...

Par exemple :

2x + y = 10
3 x = y

RÉPONSE 1

Dans l'exemple que tu donnes, on peut employer la méthode de substitution.
Dans tous les cas, le but est de trouver la valeur de x ET la valeur de y qui vont fonctionner dans les deux équations de notre système.

Exemple :

2x + y = 10
3 x = y

Ici, on peut remplacer le y de la première équation par la valeur du y de la seconde (3x).

2x + y = 10 va devenir 2x + 3x = 10

5x = 10

5x/5 = 10/5

x = 2

Ensuite, on réintègre la valeur de x dans n'importe laquelle des deux équations.

3x = y

3.2 = y

6 = y

Sur un graphique cartésien, les droites des deux équations se croiseront donc au point (2,6) puisque ce point fait fonctionner les deux équations.

Frédéric, Allô prof

QUESTION 2

Trouvez les valeurs de "x" et "y" qui satisfont aux deux équations suivantes :
2x + 4y = 28 et -3x = 10y

RÉPONSE 2

Faisons la substitution :
1) 2x + 4y = 28
2) -3x = 10y
Isolons le "x" dans l'équation 1)
2x + 4y = 28 ---> 2x =-4y + 28 ---> x = -2y + 14

Remplaçons dans la 2)
-3(-2y+14) = 10y
6y -42 = 10y
Isolons "y"
-4y = 42
y = -10,5

Tu peux remplacer dans une des deux équations pour trouver la valeur du "x".

Dominik

QUESTION 3

Un groupe d'élèves étudient en service de tables. Lors d'un exercice pratique dans un lieu public, onconvient de se partager les pourboires. Si l'on remet 11$ èa chaque élève, il reste 6$ èa partager. Il manque 3$ pour que tous et toutes  puissent obtenir 12$.

1. Quel est le système d'équations qui traduit cette situation si x correspond au nombre d'élèves et y au montant des pourboires.

RÉPONSE 3

1) 11X+6= Y

11X car nous remettons 11$ à chaque élève et + 6 car le problème dit qu'il reste 6$ à partager.

2) Grâce aux autres données du problème, tu peux trouver une nouvelle formule qui me donne :

12=(Y+3)/X

Après trouver cette formule, il reste seulement la substitution à faire :

12 = ( ( 11X+6)+3) / X

Tu isoles pour finalement arriver à ceci :

12X=11X+9

Et finalement :

X=9 ( Donc tu as 9 élèves dans ton groupe )

Mariève

QUESTION 4

Agathe vide sa tirelire, il y a 154 pièces de 10 et 5 cents pour une valeur de 9,80$.
Combien de pièces de chaque sorte a-t-elle ?

RÉPONSE 4

Posons nos variables :

x = nombre de pièces de 10¢

y = nombre de pièces de 5¢

Posons nos équations:

Nous aurons deux équations, une où l'on traitera le nombre de pièces et l'autre où l'on traitera la somme de toutes ces pièces.

Première équation :

x + y = 154

Deuxième équation :

0,10x + 0,05y = 9,80

Maintenant, on va devoir utiliser la méthode de substitution.

En isolant par exemple le "x" dans la première équation on va remplacer dans la seconde le "x" par son expression équivalente qui contient un "y".

x = -y + 154

On remplace :

0,10(-y+154) + 0,05y = 9,80

-0,10y+15,4+0,05y = 9,80

-0,05y +15,4 = 9,80

On isole maintenant la variable "y" :

-0,05y = -5,6

y = 112

Nous avons donc trouvé le nombre de pièce de 5¢.
Il ne reste qu'à remplacer dans une des deux équations pour avoir le nombre de pièces de 10¢.

Dominik

QUESTION 5

Dans son porte-monnaie, Robert a des piecesde 0,10$ et de 0,25$ et une seule piece d 1$; le total s'éleveà 4$ Il remarque qu'il possede deux piecesde 0.25$ de moins que le nombre de pieces de 0.10$.

RÉPONSE 5

1) On identifie nos variables :

x = nombre de pièces de 10¢

y = nombre de pièces de 25¢

2) On pose nos équations :

La première : 0,10x+0,25y = 3,00 (j'ai enlevé le un dollar )

La deuxième : y = x -2 (deux 0,25¢ de moins que le nombre de 0,10¢)

3) Je vais remplacer le "y" de ma première équation par celui de la deuxième.

0,10x + 0,25(x-2) = 3,00

0,10x+0,25x-0,50 = 3,00 on met les termes semblables ensemble, donc je fais +0,50 des deux côtés.

0,10x+0,25x = 3,50 on additionne les termes en "x" ensemble.

0,35x = 3,50

4) Isoler le "x" en divisant par 0,35 des deux côtés.

x = 10

5) Vérifier si ça marche :

y = 10-2

y = 8

8 fois 0,25¢ = 2,00

x = 10

10 fois 0,10¢ = 1,00

2,00 + 1,00 = 3,00

Dominik


Les références

Mise à jour : 27 juin 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 3, secondaire 4
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse