Les coordonnées des points d'intersection entre une droite et une conique

Pour trouver les points d'intersection entre une conique et une droite, on utilise la méthode de substitution.
Le reste de cette fiche donne des exemples pour le point de rencontre d'une droite et chacune des coniques.

Les points de rencontre entre une droite et une parabole

Soit les équations suivantes

|(x-4)^2=16(y+2)|   et

  |y=3x+4|

  • On remplace y dans l'équation de la parabole par son expression équivalente de la droite |(3x+4)|
  • Ensuite on rend l'équation égale à zéro.

|(x-4)^{2}=16((3x+4)+2)|
 
|x^{2}-8x+16=16(3x+6)|

|x^{2}-8x+16=16(3x+6)|

|x^{2}-8x+16=48x+96|

|x^{2}-56x-90=0|

  • On utilise la formule des zéros pour trouver les deux valeurs de x, ce qui donne

|\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}|

|\frac{56\pm\sqrt{(-56)^{2}-4(1)(-90)}}{2(1)}|

|x=-1,6|       et      |x=57,6|

  • On remplace les deux valeurs de x trouvées pour trouver les couples solutions


|y=3(-1,6)+4|        et              |y=3(57,6)+4|

Les couples solutions sont: |(-1,6 ; -0,8)| et |(57,6 ; 176,8)|

Les points de rencontre entre une droite et une ellipse ou une hyperbole

Que ce soit pour une hyperbole ou une ellipse, un utilise la même technique.
Soit les équations suivantes

|\frac{(x+2)^{2}}{36}+\frac{(y-3)^{2}}{49}=1|      et      |y=x+1|

  • On remplace y dans l'équation de l'ellipse par son expression équivalente de la droite |(x+1)|

|\frac{(x+2)^{2}}{36}+\frac{(x+1-3)^{2}}{49}=1|

|\frac{(x+2)^{2}}{36}+\frac{(x-2)^{2}}{49}=1|

  • On met les fractions sur un dénominateur commun
  • On met l'équation égale à zéro

|\frac{49(x+2)^{2}}{1764}+\frac{36(x-2)^{2}}{1764}=1|
 
|\frac{49(x+2)^{2}+36(x-2)^{2}}{1764}=1|
 
|49(x^{2}+4x+4)+36(x^{2}-4x+4)=1764|
 
|49x^{2}+196x+196+36x^{2}-144x+144=1764|
 
|85x^{2}+52x-1424=0|

  • On utilise la formule des zéros pour trouver les deux valeurs de x, ce qui donne

|x=-4,4|          et          |x=3,8|

  • On remplace les deux valeurs de x trouvées pour trouver les couples solutions


|y=(-4,4)+1|        et              |y=(3,8)+1|

Les couples solutions sont: |(-4,4 ; -3,4)| et |(3,8 ; 4,8)|

Les points de rencontre entre une droite et un cercle

Soit les équations suivantes

|(x^2-5)+(y^2+8)=81|      et      |y=2x+2|

  • On remplace y dans l'équation du cercle par son expression équivalente de la droite |2x+2|
  • On met l'équation égale à zéro

|(x^2-5)+((2x+2)^2+8)=81|  

|(x^2-5)+((4x^2+8x+4)+8)=81| 

|x^2-5+4x^2+8x+12=81| 

|5x^2+8x+7=81| 

|5x^2+8x-74=0|

  • On utilise la formule des zéros pour trouver les deux valeurs de x, ce qui donne

|x=-4,73|          et          |x=3,13|

    On remplace les deux valeurs de x trouvées pour trouver les couples solutions


|y=2(-4,73)+2|        et              |y=2(3,13)+2|

Les couples solutions sont: |(-4,73 ; -7,46)| et |(3,13 ; 8,26)|

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse