Les coordonnées des points d'intersection entre une parabole et une autre conique

Pour trouver les points d'intersection entre une conique et une parabole, on utilise la méthode de substitution ou de comparaison.
Le reste de cette fiche donne des exemples pour le point rencontre d'une droite et chacune des coniques

Les points de rencontre entre deux paraboles

Soit les équations suivantes

|y^2=8(x+3)|       et |y^2=16x|

On remplace |y^2| dans la première équation, puis on isole |x|

|8(x+3)=16x|
|8x+24=16x|
|24=8x|
|3=x|

On remplace x dans une des deux équations

|y^2=16(3)|

|y=\pm\sqrt{48}|

Les deux couples sont |(3,\sqrt{48})| et |(3,-\sqrt{48})|

Les points de rencontre entre une parabole et une ellipse ou une hyperbole

Soit les équations suivantes

|\frac{(x)^{2}}{4}-\frac{(y+3)^{2}}{9}=1|          et        |x^{2}=18(y+5)|

  • On remplace |x^2| dans la première équation
  • On met l'équation égale à zéro

|\frac{(18(y+5))^{2}}{4}-\frac{(y+3)^{2}}{9}=1|
 
|\frac{(18y+90)^{2}}{4}-\frac{(y+3)^{2}}{9}=1|
 
|\frac{9(18y+90)^{2}}{36}-\frac{4(y+3)^{2}}{36}=1|
 
|\frac{2916y^{2}+29160y+72900-4y^{2}-24y-36}{36}=1|
 
|2916y^{2}+29160y+72900-4y^{2}-24y-36=36|
 
|2912y^{2}+29136y+72828=0|

  • On trouve les zéros de la fonction à partir de la formule |\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}|

|x=-4,9|   et   |x=-5,1|

  • On remplace les deux valeurs de x trouvées pour trouver les couples solutions


|-4,9^{2}=18(y+5)|                    et          |-5,1^{2}=18(y+5)|

Les couples solutions sont: |(-4,9 ; -3,7)| et |(-5,1 ; -3,6)|

Les points de rencontre entre une parabole et un cercle

Soit les équations suivantes

|(x)^{2}+(y)^{2}=1|          et        |-16(x-7)=y^2|

  • On remplace |y| dans la première équation
  • On met l'équation égale à zéro


|(x)^{2}+(-16(x-7))^{2}=1|
 

|x^{2}+(-16x+112)^{2}=1|
 

|x^{2}+256x^{2}-3584x+12544=1|
 

|257x^{2}-3584x+12543=0|

  • On trouve les zéros de la fonction à partir de la formule |\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}|

|\frac{-(-3584)\pm\sqrt{(-3584)^{2}-4(257)(12543)}}{2(257)}|
 
|\frac{-(-3584)\pm\sqrt{(-49148)}}{2(257)}|

Puisque le discriminant est négatif, ce la signifie qu'il n'y a aucun point rencontre entre le cercle et la parabole.

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse