Résoudre une équation logarithmique

La réduction d’expressions logarithmiques à l’aide des propriétés des logarithmes

Afin de réduire (ou simplifier) des expressions logarithmiques, il faut appliquer successivement une ou plusieurs propriétés des logarithmes. Il n'existe pas d'algorithme (de recette à appliquer) qui fonctionne à tout coup pour simplifier de telles expressions.

1) Logarithme de 1

log c 1=0

2) Logatithme de c en base c = 1

log c c=1

3) Logatithme de c en base c exposant n = n

log c cn= n

4) Loi du logarithme d’un produit

log c M·N=log c M+log c N

5) Loi du logarithme d’un quotient

|log_{c}\frac{M}{N}=log_{c}M-log_{c}N|

6) Loi du logarithme fractionnaire

|log_{\frac{_{1}}{c}}M=-log_{c}M|

7) Loi du logarithme d’une puissance

log b M n =n log b M

8) Loi du changement de base

|log_{c}M=\frac{log_{a}M}{log_{a}c}|

Remarque : Lors de la division, les 2 logarithmes doivent avoir la même base.

 

Simplifier l'expression suivante de manière à obtenir une expression qui soit seulement en fonction de log2, log3, log5 et de constantes.


log25 + log24 + log¼ - log6 + log8 + log10 + log9

Étape 1

On remarque que le sixième terme est égal à 1, comme le logarithme de b en base b est égal à 1. On obtient

log25 + log24 + log¼ - log6 + log8 + 1 + log9

Étape 2

À l'aide de la loi du logarithme d'un quotient, on simplifie le troisième terme.

log¼=log1 - log4

Comme log1=0, on obtient pour l'expression complète

log25 + log24 -log4 - log6 + log8 + 1 + log9

Étape 3

Les nombres 25, 4, 8 et 9, présents dans les premier, troisième, cinquième et septième termes respectivement peuvent être représentés à l'aide d'une base et d'un exposant. On obtient

log 5 2 + log24 -log 2 2 - log6 + log 2 3 + 1 + log 3 2

Étape 4

À l'aide de la loi du logarithme d'une puissance, on vient placer les exposants à l'avant de chaque terme.

2 log5 + log24 - 2 log2 - log6 + 3 log2 + 1 + 2 log3

Étape 5

À l'aide de la loi du logarithme d'un produit, on décompose l'argument du second terme (24) et l'argument du quatrième terme (6).

2log5 + log (3×2 3 ) -2log2 - log (3×2) + 3log2 + 1 + 2log3

2log5 + log3 +3log2 -2log2 - log3 -log 2 + 3log2 + 1 + 2log3

Étape 6

On regroupe les termes semblables

2log5 + 2log3 + 3log2 + 1

Ceci est le résultat recherché mais ce n'est pas le seul résultat possible.


Simplifier l’expression suivante : 3 ln x + 4 ln x – 2 ln x 3 .

Étape 1 : on doit utiliser la 2 e loi et réécrire l’expression. On obtient alors :

ln x 3 + ln x 4 – ln x 6

Étape 2 :
En lisant de gauche à droite l’expression, on utilise les lois 3 et 4. On aura:

1) ln x 3 x 4 – ln x 6

2) ln x 7 – ln x 6

3) ln (x 7 / x 6 )

4) ln x 1

5) ln x

Les exercices

QUESTION 1

Résolvez l'équation suivante:

3 loga 2 + loga (x-2)  =  loga 12(x+3) - loga 3

RÉPONSE 1

Je vais débuter le problème comme je le ferais :

3 loga 2 + loga (x-2)  =  loga 12(x+3) - loga 3

Je vais jouer à gauche :

Ton 3 loga 2 devient : loga 23

loga 23 + loga (x-2) : l'addition de deux logs, c'est un produit.

loga(2³ x (x-2))

loga(8x(x-2))

loga(8x-16)

On va maintenant jouer à droite :

loga 12(x+3) - loga 3

Distribuer le 12 dans la parenthèse :

loga(12x+36) - loga3

La soustraction de deux logs, c'est une division.

loga((12x+36)/3)

loga(4x+12)

On a maintenant :

loga(8x-16) = loga(4x+12)

Il ne suffit que de compléter en ramenant le tout sous la forme exponentielle.

Dominik

QUESTION 2

Comment résoudre : log2(x+8) + log24 = 3 ?

RÉPONSE 2

log2(x+8) + log24 = 3

Quand on additionne deux log, on multiplie les puissances :

log2(x+8)(4) = 3

log2(4x+32) = 3

Un simple changement de forme devrait régler le tout :

23 = 4x + 32

8 = 4x + 32

-24 = 4x

-6 = x

Dominik

QUESTION 3

Il faut résoudre l'équation suivante : 40 x+1 = log8 55

RÉPONSE 3

Il ne faut se laisser pas impressionner par le logarithme à droite.  On peut même le changer dès le début pour un logarithme en base 10 ou en base e facilement calculable à la calculatrice.

40 x+1 = log855

devient...

40 x+1= ln(55) / ln(8)

Ensuite on prend les logarithme de chaque côté.  Comme tu vois, j'ai pris le logarithme naturel mais le logarithme en base 10 fait aussi l'affaire.

ln(40x+1) = ln(55) / ln(8)

Mais une loi des logarithmes nous dit qu'on peut "envoyer" l'exposant en avant...

(x + 1) ln(40) = ln(55) / ln(8)

On divise par ln(40)...

x + 1 = ln(55) / [ln(8) · ln(40)]

On soustrait 1...

x =  ln(55) / [ln(8) · ln(40)] - 1

On peut utiliser la calculatrice pour évaluer cette expression !

Simon

 

QUESTION 4

Que vaut l'expression : logb rc(6/2b) si logb3=x et logb2=y ?

RÉPONSE 4

Commençons avec:

logb rc(6/2b) = logb (6/2b)1/2      [une racine carré est en fait un exposant 1/2]

= 1/2 logb (6/2b)                          [l'exposant devient le multiplicateur du log]

= 1/2 logb (3/b)                            [on simplifie la parenthèse]

= 1/2 (logb 3 - logb b)                  [une division dans un log devient une soustraction de logs]

= 1/2 (x - 1)                                  [logb 3 = x et logb b = 1]

Martin Lemieux

QUESTION 5

Il faut simplifier les résultats : loga(x²-4) - loga(x-2)

RÉPONSE 5

On a :

loga (x2 - 4) - loga (x - 2)

Mais x2 - 4 est une différence de carrés.  La factorisation nous donne : (x + 2)(x - 2)

loga ((x + 2)(x - 2)) - loga (x - 2)

Le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs :

loga (x + 2) + loga (x - 2) - loga (x - 2)

En simplifiant...

loga (x + 2)

Simon

QUESTION 6

Je dois simplifier : log3x4+log3/x-2log3x²

RÉPONSE 6

Tu dois connaître tes lois des log, je vais le résoudre en les utilisant tout simplement :

log3x4+log3/x-2log3x²

Jouons avec le 4 selon la loi : logcmn = nlogcm

4log3x+log3/x-2log3x²

Jouons avec le / selon la loi : logcm/n <---> logcm - logcn

4log3x+log3-logx-2log3x²

Pour le ² nous pouvons encore utiliser la première loi :

4log3x+log3-logx-4log3x

Dominik

 

QUESTION 7

Comment on calcule : log4(x+3)-2=log4(x-4)

RÉPONSE 7

Sachant que loga(x/y) = loga(x) - loga(y),

alors,  log4(x+3)-2=log4(x-4)

log4(x+3) - log4(x-4) = 2

log4[(x+3)/(x-4)]=2

(x+3)/(x-4) = 42

x+3 =16x - 64

67=15x

67/15 = x

Loukrati


Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse