L'analyse des paramètres dans une fonction escalier de forme canonique

Lorsqu’on transforme la forme de base de la fonction en escalier on obtient une équation avec différents paramètres qui peut s’écrire sous la forme canonique de la façon suivante :

|f(x)=a[b(x-h)]+k|

a, b, h et k sont des nombres réels qu’on appelle aussi paramètres.
Les paramètres a et b ne sont jamais nuls.

Dans cette section, nous allons faire varier chacun des paramètres de l’équation d’une fonction en escalier pour voir les effets sur le graphique de cette fonction.

Analyse du paramètre «a»

Le paramètre a est responsable d’un changement d’échelle vertical de facteur a.

  • Plus le paramètre a est grand, plus la distance entre les marches de l’escalier est grande. Le graphique de la fonction s'allonge sur la verticale.


  • Plus le paramètre a est petit (près de 0), plus la hauteur entre les marches de l’escalier est petite. Le graphique de la fonction se rétracte verticalement.

 


Le paramètre a est aussi responsable de l’orientation du graphique de la fonction en escalier. Lorsque le paramètre a est négatif, le graphique subi une réflexion par rapport à l’axe des  x.  

 

Analyse du paramètre «b»

Le paramètre b est responsable d'un changement d'échelle horizontal de facteur |\frac{1}{b}|.

  • Si b>1, alors la longueur des segments devient plus petite. Le graphique de la fonction se contracte horizontalement.

 


  • Si 0<b<1 alors la longueur des segments est allongée d'un facteur |\frac{1}{b}|. Le graphique s'étire sur l'horizontale.



Le paramètre b est aussi responsable de l’orientation du graphique de la fonction en escalier. Lorsque le paramètre b est négatif, le graphique subi une réflexion par rapport à l’axe des  y. Aussi:

  • Si b est positif, chaque segment a un point fermé à gauche et ouvert à droite.

  • Si b est négatif, chaque segment a un poin ouvert à gauche et fermé à droite.


 

Analyse du paramètre «h»

Le paramètre h est responsable du déplacement horizontal de la fonction en escalier.
 

  • Si le paramètre h est positif, le graphique de la fonction en escalier se déplacera vers la droite.

 

 

  • Si le paramètre h est négatif, le graphique de la fonction en escalier se déplacera vers la gauche.

 

Analyse du paramètre «k»

Le paramètre k est responsable du déplacement vertical du graphique de la fonction en escalier.
 

  • Si le paramètre k est positif, le graphique de la fonction en escalier se déplacera vers le haut.

 

  • Si le paramètre k est négatif, la graphique de la fonction en escalier se déplacera vers le bas.

 

La pente de l’escalier

Il est peut être utile de noter que nous pouvons exprimer la pente de l’escalier de la façon suivante :

|La\, pente\, de\, l'escalier=a\cdot b|

 

Les exercices

Les références

Mise à jour : 05 juillet 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 4, secondaire 5
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse