L'analyse des paramètres dans une fonction exponentielle de la forme canonique

Lorsqu’on transforme la forme de base de la fonction exponentielle, on obtient une équation avec différents paramètres, la fonction exponentielle de la forme canonique.

|f(x)=a\cdot c^{b(x–h)}+k|

a, c, b, h et k sont des nombres réels qu’on appelle aussi paramètres.

À la place de la base c, on utilise aussi le nombre népérien e dans la fonction exponentielle, car cette fonction est la réciproque de la fonction du logarithme népérien.
 
On notera alors la fonction exponentielle de base  et transformée de la façon suivante :

|f(x)=e^{x}|                  et                 |g(x)=a\cdot e^{b(x-h)}+k|
Le nombre népérien e est un nombre irrationnel, c’est-à-dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique.

La valeur approximative de e avec ses premières décimales est  2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 47093699959574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274…

Analyse du paramètre «a»

Le paramètre a créé une réflexion par rapport à l'axe horizontal. Il change aussi l'échelle verticale de la fonction.

  • Lorsque a>0, la fonction sera tournée vers le haut.
  • Lorsque a<0, la fonction sera tournée vers le bas.
  • Si a>1, la fonction sera allongée verticalement et si  0<a<1 la fonction sera contractée sur la verticale.

Analyse du paramètre «b»

Le paramètre b est responsable d'une réflexion par rapport à l'axe vertical. Il change aussi l'échelle horizontale de la fonction.

  • Lorsque b>0, la courbe suit une croissance de la gauche vers la droite
  • Lorsque b<0, la courbe suit une décroissance de la droite vers la gauche
  • Si b>1 la fonction sera comprimée horizontalement et si  0<b<1 la fonction sera allongée.

Analyse du paramètre «c»

Le paramètre c détermine la croissance de la fonction

Si c est compris entre 0 et 1 (0<c<1), la fonction est décroissante

Si c>1, la fonction est croissante

Analyse du paramètre «h»

Le paramètre h est responsable d'une translation horizontale de chaque point de la fonction.

  • Si le paramètre h est positif,  la translation se fera vers la droite.
  • Si le paramètre h est négatif, la translation se fera vers la gauche.

Analyse du paramètre «k»

Le paramètre k est responsable d'une translation verticale de chaque point de la fonction.

  • Si le paramètre k est positif, la translation se fera vers le haut.
  • Si le paramètre k est négatif, la translation se fera vers le bas.

Les exercices

Les références

Mise à jour : 01 septembre 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 5
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse