La recherche de la règle d'une fonction exponentielle

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Les exercices

QUESTION 1

Dans un dessin animé, un personnage nommé Plouc fabrique une boule de neige de 50 g. Du sommet de la montagne, il fait rouler la boule vers le bas. Après avoir roulé 20 m, la masse de la boule est de 100 g. La masse de la boule varie en fonction de la distance parcourue en mètres selon un modèle exponentiel. Quelle distance doit parcourir la boule pour atteindre une masse de 1500 g?

RÉPONSE 1

La masse de la boule de neige double chaque fois qu'elle parcourt 20 m.

Comme l'augmentation est exponentielle, on aura une équation de la forme :

masse originale x 2 exposant la distance parcourue/20

Vois-tu pourquoi?

Numériquement, cela donne :

M = 50 x 2x/20

Pour répondre à la question, on remplace M par 1500 et on isole le x...

Marc-Antoine

QUESTION 2

Premièrement, quelle est l'équation sous la forme canonique?

Deuxièmement, comment je fais pour la retrouver à partir de cela :

L'asymptote a pour équation y = 0 ; la courbe passe par (2,1) et (3,2)

RÉPONSE 2

On peut insérer les paramètres a, b, h, k dans une fonction exponentielle.  La forme canonique est en théorie: f(x) = a·cb(x-h) + k.  On s'en sert au besoin (selon le contexte).  Par contre, d'un point de vue strict, on n'a pas besoin ni de b ni de h.  Si bien que la vraie forme canonique d'une fonction exponentielle est f(x) = a·cx + k. 

En effet, si on insère les quatre paramètres, la fonction exponentielle :

f(x) = cx

devient :

g(x) = a · cb(x-h) + k

Mais comme tu le sais, on n'a pas besoin de tous ces paramètres (comme avec la parabole, on n'a pas besoin du b).  Seuls les paramètres a et k suffisent.  On peut toujours éliminer les paramètres b et h.

On n'a qu'à utiliser les propriétés des exposants. 

Pour éliminer le b...

f(x) = cbx = (cb)x

On doit donc changer la base.  Elle était "c" elle devient "cb"

Pour éliminer le h...

f(x) = cx-h = cx / ch  =  (1 / ch ) · cx

Ici, ce n'est pas la base qui change, mais le paramètre "a".  On doit diviser le "a" par ch.

Pour l'équation de la courbe.

Si l'asymptote a pour équation y = 0, c'est qu'elle n'a pas subit de translation verticale.  Le k vaut donc 0.

Aussi, pour passer en abscisses de 2 à 3 (donc un bon de 1), on est passé en ordonnées de 1 à 2.  On a donc doublé (la base vaut 2).

L'équation est donc :

y = a·2x

En remplaçant x et y par les coordonnées d'un des points :

1 = a·22

1 = 4a

1/4 = a

L'équation est donc :

y = (1/4) · 2x

Simon

QUESTION 3

Une balle a la propriété de rebondir à une hauteur égale aux 2/5 de la hauteur atteinte au bond précédent . On la laisse tomber du haut d'un édifice de 10 mètres de hauteur .

a) Quelle est la hauteur atteinte après:

1. le 1er rebond?        2. le 2e rebond?       3. le 3e rebond?

b)Quelle est la hauteur atteinte après le nième rebond?

RÉPONSE 3

On laisse tomber la balle d'une hauteur de 10 mètres.  À chaque bond, elle rebondit à une hauteur égale au 2/5 de la hauteur atteinte au bond précédent. 

Donc, au premier bond, elle atteindra :

10 · (2/5) = 4.

Après le deuxième bond, elle atteindra :

4 · (2/5) = 1,6

Après le troisième bond elle atteindra :

1,6 · (2/5) = 0,64

Après le quatrième bond elle atteindra :

0,64 · (2/5) = 0,256

etc.

Peut-on trouver une règle qui nous permettra de trouver la hauteur au nième bond ? On trouve une solution en ayant recours à la notation exponentielle.

On n'a qu'à se rapporter à nos calculs :

Après 1 bond :  10·(2/5)

Après 2 bonds, c'est (2/5) du bond précédent... donc (2/5)·10·(2/5) ou 10·(2/5)·(2/5) ou encore, par définition de l'exposant, 10·(2/5)2.

Après 3 bonds c'est encore (2/5) du bond précédent... donc 10·(2/5)·(2/5)·(2/5) ou, par définition de l'exposant, 10·(2/5)3.

Après 4 bonds, c'est toujours (2/5) du bond précédent... donc 10·(2/5)·(2/5)·(2/5)·(2/5) ou, par définition de l'exposant, 10·(2/5)4.

On se rend compte que l'exposant dans l'expression qui nous permet de calculer la hauteur est exactement le même que le nombre de bonds !  C'est normal et en y réfléchissant, c'est parfaitement cohérent !

Après n bonds, la balle atteint donc une hauteur de 10·(2/5)n.

Simon


Les références

Mise à jour : 27 juin 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 4, secondaire 5
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse