La réciproque de la fonction exponentielle

Déterminer graphiquement la réciproque d'une fonction exponentielle

Afin de déterminer graphiquement la réciproque d'une fonction exponentielle, on peut procéder de la manière suivante:

1. Tracer la fonction exponentielle dont on souhaite tracer la réciproque.

2. Tracer la droite y = x.

3. Effectuer une réflexion de la fonction exponentielle de départ par raport à la droite
y = x

Tracer la réciproque de la fonction exponentielle suivante: y = -1,5·2-(x - 2) + 4.

On trace la fonction exponentielle dont on souhaite tracer la réciproque.


On trace la droite y = x.


On effectue une réflexion de la fonction exponentielle par rapport à la droite y = x.


On obtient ainsi la réciproque de la fonction de départ.

Déterminer algébriquement la réciproque d'une fonction exponentielle

Afin de déterminer algébriquement la réciproque d'une fonction exponentielle, on procéde de la manière suivante.

1. Dans la règle de la fonction exponentielle, intervertir les variables x et y.

2. Isoler la variable y.

Il est à noter que les réciproques des fonctions exponentielles sont des fonctions logarithmiques.
Déterminer algébriquement la règle de la réciproque de la fonction exponentielle du type f(x) = acb(x) :

y = 2(3)3x

1. On intervertit les variables x et y. On obtient l'égalité suivante:

x = 2(3)3y

2. On isole la variable y.

\frac{x}{2}=3^{3y}
 
- On prend le logarithme en base 3 des deux côtés:

log_{3}(\frac{x}{2})=log_{3}3^{3y}
 

log_{3}(\frac{x}{2}) =3y\cdot log_{3}3
 

log_{3}(\frac{x}{2}) =3y
 
- On divise par 3 ce qui donne:

\frac{1}{3}log_{3}(\frac{x}{2}) =y

Déterminer algébriquement la règle de la réciproque de la fonction exponentielle du type f(x) = a(c)b(x-h)+k :

y = -3(4)-2(x +  4) - 7.

1. On intervertit les variables x et y. On obtient l'égalité suivante:

x = -2(4)-2(y +  4) - 7

2. On isole la variable y.

x = -2(4)-2(y +  4) - 7

x + 7 = -2(4)-2(y +  4)

|\frac{(x+7)}{-2}=(4)^{-2(y+4)}|
 
- On prend le logarithme en base 4 des deux côtés:

|log_{4}(\frac{-1}{2}(x+7))=log_{4}(4)^{-2(y+4)}|
 
- On peut déplacer l'exposant affecté au 4:

|log_{4}(\frac{-1}{2}(x+7))=-2(y+4)log_{4}4|
 
- On sait que |log_{4}4=1|:
 
|log_{4}(\frac{-1}{2}(x+7))=-2(y+4)|
 
- On divise par -2:

|\frac{-1}{2}log4(\frac{-1}{2}(x+7))=y+4|
 
- Il ne reste qu'à soustraire 4 pour obtenir la réciproque recherchée:

|y=\frac{-1}{2}log_{4}(\frac{-1}{2}(x+7))-4|

Il ne faut pas oublier la restriction. Dans une fonction loagrithmique, l'intérieur de la parenthèse doit être plus grand que 0.

|\frac{-1}{2}(x+7)>0|
 
|x+7>\frac{0}{\frac{-1}{2}}|
 
x+7>0

x>-7

Les exercices

Les références

Mise à jour : 01 septembre 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 4, secondaire 5
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse