Tracer une fonction exponentielle de la forme canonique dans un graphique

La production d'un graphique cartésien à partir de la règle

La règle de la fonction exponentielle à tracer se présentera habituellement sous sa forme canonique (transformée):

y = acb(x - h) + k

Tracer une fonction exponentielle à l'aide d'une table de valeurs

 

Afin de tracer la fonction exponentielle à l'aide de sa règle et d'une table de valeurs, on peut suivre les étapes suivantes:

1. Dans la règle de la fonction exponentielle, remplacer x par quelques valeurs (par exemple, -10, -5, -1, 0, 1, 5, 10).

2. Tracer les points ainsi obtenus (x,y) dans un plan cartésien et tracer la courbe obtenue.

Tracer la fonction exponentielle suivante:

y = -1(2)4(x - 2) + 5.

1. On remplace x par quelques points pour obtenir les valeurs de y correspondantes. Remplaçons x par les valeurs 2, 3, 4 et 5:

Pour x = 2
y = -1(2)4(x - 2) + 5
y = -1(2)4(2 - 2) + 5
y = 4

Pour x = 3
y = -1(2)4(x - 2) + 5
y = -1(2)4(3 - 2) + 5
y = 3

Pour x = 4
y = -1(2)4(x - 2) + 5
y = -1(2)4(4 - 2) + 5
y = 1

Pour x = 5
y = -1(2)4(x - 2) + 5
y = -1(2)4(5 - 2) + 5
y = -3

On a donc les couples (2,4), (3,3),(4,1),(5,-3).

2. Placer les points obtenus dans un plan cartésien et tracer la courbe.


 
Cette technique est facile, mais longue. En effet, pour tracer la courbe la plus précise possible, on doit trouver des points facilement placable dans un graphique.

Tracer une fonction exponentielle à l'aide des paramètres de la fonction de base

Afin de tracer la fonction exponentielle à l'aide de ses paramètres, on peut suivre les étapes suivantes:

  • Tracer la fonction exponentielle de base (y = cx).
  • Effectuer le changement d'échelle verticale imposé par le paramètre a;
  • Effectuer le changement d'échelle horizontale imposé par le paramètre b;
  • Effectuer la translation verticale imposée par le paramètre k;
  • Effectuer la translation horizontale imposée par le paramètre h.

Il est à noter que ces quatre dernières opérations auraient pu être effectuées dans n'importe quel ordre.


Tracer la fonction exponentielle suivante: y = 2(2)-3(x + 4) - 3.

1. On trace la fonction exponentielle de base, dans ce cas, y = 2x



2. On effectue le changement d'échelle verticale imposé par le paramètre a.

Comme le paramètre a est égal à 2, il faut "étirer" verticalement la courbe d'un facteur 2. Concrètement, cela signifie qu'il faut multiplier par 2 les valeurs de y de la fonction de base.



3. On effectue la réflexion et le changement d'échelle horizontale imposé par le paramètre b (de facteur |\frac{1}{b})|.

Comme le paramètre b est égal à -3, il faut effectuer une réflexion de la courbe par rapport à l'axe des y et "comprimer" horizontalement la courbe d'un facteur |\frac{1}{3}|. Concrètement, cela revient à diviser par 3 les valeurs de x de la fonction de base.



4. On effectue la translation verticale imposée par le paramètre k.

Comme le paramètre k est égal à -3, on doit effectuer une translation verticale de trois unités vers le bas.



5. On effectue la translation horizontale imposée par le paramètre h.

Comme le paramètre h est égal à -4, (x-(-4)), on doit effectuer une translation horizontale de quatre unités vers la gauche.



On obtient ainsi la courbe recherchée.

On peut vérifier quelques caractéristiques de la courbe obtenue:

 -On obtient une asymptote à y = -3, ce qui correspond à y = k.

 -On obtient une courbe décroissante dont les valeurs de y sont supérieures à k, ce qui correspond à un a positif et un b négatif.

Les exercices

Les références

Mise à jour : 04 juillet 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 5
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse