La fonction inverse

La fonction inverse, aussi appelée la fonction rationnelle, est une fonction qui diminue sur la variable dépendante (y) à mesure que l'on augmente sur la variable indépendante (x).
L’équation générale pour une variation inverse est de la forme :

|y=\frac{k}{x}|
 
k fait partie des nombres rationnels (|k\mathbb{\epsilon Q}^{+}|)

On peut déterminer qu'une fonction est inverse si le produit de x et de y donne toujours le même nombre.

Exemple:


Le produit de x et y donne toujours 320, donc cette fonction est inverse

Tracer le graphique d'une fonction inverse

Pour tracer une fonction inverse, on choisit différents valeurs de x et on calcule la valeur de y à partir de l'équation donnée.

Soit l'équation; |f(x)=\frac{1}{x}|

On peut produire une table des valeurs à partir de cette équation

x    y    
1 1
2 1/2
3 1/3
4 1/4
5 1/5


Voici le graphique de cette fonction inverse, lorsque x>0.

Analyse du paramètre «k»

  • Si le paramètre k est plus grand que 1 (k>1), la fonction s'éloigne de l'origine.

  • Si le paramètre k est compris entre 0 et 1 (0<k<1), la fonction s'approche de l'origine.



Recherche de la règle d'une fonction inverse

Dans une table des valeurs ou un graphique

On prend un couple x et y et on isole k.
Trouve l'équation du graphique suivant:


1. On prend le couple (2,5) et on remplace x et y dans la fonction inverse

|5=\frac{k}{2}|

2. On isole k

|5\cdot2=k|
10=k

L'équation de cette fonction inverse est donc

|f(x)=\frac{10}{x}|

Remarque: on peut faire le même calcul avec le couple (5,2) pour voir si on arrive au même résultat.

Dans un problème écrit

Dans un problème écrit, on identifie que la fonction est inverse lorsque la valeur de la valeur dépendante diminue lorsque la valeur dépendante augmente. Bref, y diminue lorsque x augmente.
À partir d'un problème écrit d'une fonction inverse, il est préférable de produire une table des valeurs pour bien comprendre la variation de la fonction.

Louis décide de louer un chalet dans les Laurentides pour fêter son anniversaire. Il invite plusieurs de ses amis pour fêter avec lui. Le coût de la location du chalet s’élève à 320,00 $ pour la fin de semaine. Les amis de Louis décident de se partager entre eux les coûts de la location du chalet.

Louis s’intéresse donc au coût que chacune des personnes aura à débourser selon le nombre de personnes qui seront présents lors de cette fin de semaine.

Donc si 1 personne loue le chalet, cela lui coutera 320$. Si 2 personnes louent le chalet, cela coutera 160$ à chaque personne. On peut donc produire la table des valeurs suivantes.


Pour trouver la fonction, il ne reste plus qu'à remplacer x et y  dans l'équation générale de la fonction inverse.

1.Si on prend le couple (10,32)

|32=\frac{k}{10}|

2. On isole k

|32\cdot10=k|
320=k

L'équation de cette fonction inverse est donc

|f(x)=\frac{320}{x}|

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse