L'analyse des paramètres dans une fonction quadratique générale et canonique

L’effet des modifications d’un paramètre de la forme canonique

La forme de base d’une fonction quadratique est :

|f(x)=x^{2}|
 

 

  • Lorsqu’on transforme cette forme de base, on obtient une équation avec différents paramètres.

L’équation d’une fonction quadratique transformée écrite sous cette forme s’appelle la forme canonique.

|f(x)=a(x-h)^{2}+k|

a, h et k sont des nombres réels qu’on appelle aussi paramètres.

Le paramètre a

Le paramètre a est responsable de l’ouverture (son étirement vertical) de la parabole.

  • Plus le paramètre a est grand, plus l’ouverture de la parabole est petite.

  • Plus le paramètre a est petit (près de 0), plus l’ouverture de la parabole est grande.

 
Le paramètre a est aussi responsable de l’orientation de la parabole.

  • Lorsque le paramètre a est positif, l’ouverture de la parabole est vers le haut.
  • Lorsque le paramètre a est négatif, l’ouverture de la parabole est vers le bas.

 

Le paramètre h

Le paramètre h est responsable de la translation horizontale de la parabole.

  • Si le paramètre h est positif, la parabole fera une translation vers la droite.

 

 

  • Si le paramètre h est négatif, la parabole fera une translation vers la gauche.

 

Le paramètre k

Le paramètre k est responsable de la translation verticale de la parabole.

  • Si le paramètre k est positif, la parabole fera une translation vers le haut.

 

  • Si le paramètre k est négatif, la parabole fera une translation vers le bas.

 

 

L’effet des modifications d’un paramètre de la forme générale

On peut écrire l’équation d’une fonction quadratique (d’une fonction du second degré) sous sa forme générale.


a, b et c sont des nombres réels et a est toujours non nul.

Le paramètre a

Dans la forme générale, le paramètre a est responsable de l’ouverture (son étirement vertical) et de l'orientation de la parabole.

  • Si le paramètre a est positif, alors l’ouverture de la parabole sera vers le haut.
  • Si le paramètre a est négatif, alors l’ouverture de la parabole sera vers le bas.

  • Plus le paramètre a est grand, plus l’ouverture de la parabole est petite.
  • Plus le paramètre a est petit (près de 0), plus l’ouverture de la parabole est grande.

Le paramètre b

Lorsqu’on fait varier le paramètre b d’une fonction quadratique sous sa forme générale, on peut alors observer une translation oblique du sommet. (qui suit la forme d'une parabole)

  • Si la valeur de b>0,  la parabole se déplacera obliquement vers la gauche et vers le bas.


Dans l'exemple suivant, si a=1 et c=0:



  • Si la valeur de b<0, la parabole se déplacera obliquement vers la droite et vers le bas.

Dans l'exemple suivant, si a=1 et c=0:

Le paramètre c

Dans la forme générale, le paramètre c nous donne la valeur de l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire la valeur de y lorsque x=0.

 

Les exercices

Les références

Mise à jour : 01 septembre 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 4, secondaire 5
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse