La fonction quadratique de forme générale, canonique et factorisée


L'équation de base d’une fonction quadratique est:

|f(x)=x^{2}|

Si l'on veut modifier la courbure de la parabole ou la position du sommet de celle-ci, on doit ajouter des paramètres qui vont développer une fonction quadratique dite transformée.

Ils existent trois types de fonction quadratique transformée qui seront traités ci-bas et aussi comment les trouver.

La forme canonique de la fonction quadratique

Lorsqu’on transforme la forme de base, on obtient une équation avec différents paramètres. L’équation d’une fonction quadratique transformée écrite sous cette forme s’appelle la forme canonique.

|f(x)=a(x-h)^{2}+k|

a, h et k sont des nombres réels qu’on appelle aussi paramètres.

  • Le paramètre a est toujours non nul.
  • Les paramètres h et k représente respectivement les coordonnées du sommet x et y
  • Le paramètre a permet de déterminer l'orientation de la parabole et la courbure de celle-ci.

La modification de ces paramètres entraîne un changement dans la parabole.

La forme factorisée de la fonction quadratique

On peut écrire l’équation d’une fonction quadratique sous sa forme factorisée:

|f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})|

a, x1 et x2 sont des nombres réels qu’on appelle aussi paramètres.

  • Le paramètre a est toujours non nul.
  • Le paramètre a permet de déterminer l'orientation de la parabole et la courbure de celle-ci.
  • Les paramètres x1 et x2 représentent les zéros de la fonction quadratique.

La modification de ces paramètres entraîne un changement dans la parabole.

La forme générale de la fonction quadratique

On peut écrire l’équation d’une fonction quadratique sous sa forme générale :

|f(x)=ax^{2}+bx+c|

a, b et c sont des nombres réels et a est toujours non nul.

La forme générale est une forme développée de la forme canonique et factorisée.
  • Le paramètre a permet de déterminer l'orientation de la parabole et la courbure de celle-ci.
  • Le paramètre c représente l'ordonnée à l'origine de la fonction quadratique.
La modification de ces paramètres entraîne un changement dans la parabole.

La transformation de la forme canonique à la forme générale

Pour passer de la forme canonique à la forme générale, il suffit de développer de façon algébrique l’équation de la fonction.
 
|f(x)=3(x-4)^{2}+5|

|f(x)=3(x-4)(x-4)+5|

|f(x)=3(x^{2}-8x+16)+5|

|f(x)=3x^{2}-24x+48+5|

|f(x)=3x^{2}-24x+53|

La transformation de la forme factorisée à la forme générale

Pour passer de la forme factorisée à la forme générale, il suffit de développer de façon algébrique l’équation de la fonction.

|f(x)=4(x-2)(x+7)|

|f(x)=4[x^{2}+7x-2x-14]|
 
|f(x)=4[x^{2}+5x-14]|
 
|f(x)=4x^{2}+20x-56|

La transformation de la forme générale à la forme canonique

Puisque le paramètre a possède la même valeur dans la forme canonique que dans la forme générale, il nous suffira de trouver les paramètres h et k pour passer de la forme générale à la forme canonique.

Pour ce faire, on utilisera les formules pour trouver (h,k) qui correspondent à:

|(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})|
 
À partir de la formule du sommet (h,k)

Soit l’équation suivante sous sa forme générale :

|f(x)=3x^{2}-24x+53|

a=3
b=-24
c=53

Nous savons que la valeur de a est 3 et celle de b, -24. Trouvons maintenant la valeur de h et k :

|h=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-24)}{2\cdot3}=\frac{24}{6}=4|
 
|k=\frac{4ac-b^{2}}{4a}=\frac{4\cdot(3)\cdot(53)-(-24)^{2}}{4\cdot(3)}=\frac{636-576}{12}=\frac{60}{12}=5|

L’équation sous forme canonique est donc :

|f(x)=3(x-4)^{2}+5|
 
Par la méthode de complétion de carré

Reprenons l’exemple ci-haut et transformons cette équation générale sous la forme canonique avec la méthode de la complétion de carré :

|f(x)=3x^{2}-24x+53|

1. On effectue une mise en évidence pour que le coefficient devant |x^2| soit 1.

|f(x)=3\cdot(x^{2}-8x+\frac{53}{3})|

2. On ajoute et on retranche |(\frac{b}{2})^{2})|

|f(x)=3(x^{2}-8x{\color{red}+16}+\frac{53}{3}{\color{red}-16})|
 
3. On effectue la complétion de carré

|f(x)=3[(x-4)^{2}+\frac{53}{3}-16]|

4.On simplifie

|f(x)=3[(x-4)^{2}+\frac{5}{3}]|

|f(x)=3\cdot(x-4)^{2}+3\cdot\frac{5}{3}|
 
5. L'équation finale est donc:

|f(x)=3\cdot(x-4)^{2}+5|

Les exercices

Les références

Mise à jour : 01 septembre 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 4, secondaire 5
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse