La réciproque de la fonction quadratique

La réciproque à l’aide d’un graphique

Pour trouver la réciproque d’une fonction quadratique à l’aide d’un graphique, il nous suffit de tracer la droite d’équation y = x, puis d’effectuer une symétrie par rapport à cet axe. La parabole ainsi trouvée est la réciproque de notre fonction quadratique.
 

La définition d'une fonction stipule que pour une même valeur de «x», il ne peut y avoir deux valeurs différentes de «y».

Si on observe attentivement les graphiques, on se rend compte que les réciproque ne sont pas des fonctions, car pour un même « x » il y a deux valeurs différentes pour les « y ».

Pour que la réciproque soit une fonction on ne gardera que la partie qui nous permet de résoudre la problème. Pour plus de détails, regardez l'exemple plus bas

La réciproque de façon algébrique

Mathématiquement, on représente une réciproque de |f(x)| par |f^-1(x)|

Pour trouver la réciproque de façon algébrique

1.On changer le « x » pour le « y » et le « y » pour le « x ».

2.On isole « y ».

Soit l'équation

f(x)=x2+2

1.On changer le « x » pour le « y » et le « y » pour le « x ».

x=y2+2

2.On isole « y ».

|x-2=y^{2}+2-2|
 
|\sqrt{x-2}=\sqrt{y^{2}}|

|\sqrt{x-2}=y|

Lorsqu’on extrait la racine carrée, il ne faut pas oublier que le nombre qui a été élevé au carré au départ pouvait être un nombre positif ou un nombre négatif.

|\sqrt{9}= 3|  et | \sqrt{9}=- 3|

car

(3)² = 9 et (-3)² = 9 

Nous avons donc deux expressions algébriques à considérer lorsqu’on extrait une racine carrée :

\sqrt{x-2}=y           ou             -\sqrt{x-2=y}
 
f^{1}(x)=\sqrt{x-2}         ou       f^{1}(x)=-\sqrt{x-2}     

Les exercices

Les références

Mise à jour : 01 août 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 4, secondaire 5
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse