Tracer une fonction quadratique dans un graphique

Pour tracer une fonction quadratique, il est préférable de placer un minimum de 3 points dans un plan cartésien.

On recherche généralement les points suivants:

1. Les coordonnées du sommet

2. Les coordonnées des zéros, s'il y en a

Les 3 points trouver vont donner une vue générale de la parabole. Si nous voulons être plus précis, on doit rechercher d'autres points de la fonction.

Tracer une fonction quadratique à partir de la forme générale

Soit l'équation suivante : y=-2x2+4x+8

1.On calcule les coordonnées du sommet

On utilise les formules suivantes pour trouver les coordonnées du sommet (h,k)

|(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})|

Dans l'exemple ci-haut cela donne:

|(\frac{-4}{2\cdot-2},\frac{4\cdot-2\cdot8-4^{2}}{4\cdot-2})|

|(\frac{-4}{-4},\frac{-80}{-8})|
 
(1,-10)

2. Les coordonnées des zéros, s'il y en a

On utilise la formule suivante pour trouver les zéros de la fonction

|x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}|
 

Dans l'exemple ci-haut cela donne:

|x=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot-2\cdot8}}{2\cdot-2}|

|x=\frac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot-2\cdot8}}{2\cdot-2}|

|x=\frac{-4\pm\sqrt{16+64}}{2\cdot-2}|

|x=\frac{-4\pm\sqrt{80}}{-4}|
 
|x=\frac{-4+\sqrt{80}}{-4}|                     |x=\frac{-4-\sqrt{80}}{-4}|

        x1= -1,23                                           x2= 3,24

À partir de ces informations, on peut tracer les trois points connus et ainsi le graphique de la fonction

Tracer une fonction quadratique à partir de la forme canonique

Soit l'équation y= -2(x-4)2+8

1.On cherche les coordonnées du sommet

Les coordonnées du sommet dans une fonction canonique sont données par la valeur des paramètres h et k.

Dans l'exemple ci-haut cela donne:

(h, k)= (4,8)

2. Les coordonnées des zéros, s'il y en a

Pour trouver les zéros de la fonction canonique, on remplace y par 0 et on isole x

y= -2(x-4)2+8

-8=-2(x-4)2

|\frac{-8}{-2}| = (x-4)2

4=(x-4)2

|\sqrt{4}=\sqrt{(x-4)^{2}}|

La racine carrée de 4 donne 2 valeurs possibles: 2 et -2
 
-2=x-4                                          2=x-4

-2+4=x                                       2+4=x

2=x1                                             6=x2

À partir de ces informations, on peut tracer le graphique de la fonction

Tracer une fonction quadratique à partir de la forme factorisée

Soit l'équation y= -2 (x+3)(x-5)

1. On cherche les coordonnées des zéros

Dans cette équation, il est facile d'avoir les zéros, car ils sont donnés dans l'équation générale avec x1et x2.

Dans l'exemple ci-haut les zéros sont:

x = -3  et  x = 5

2.On cherche les coordonnées du sommet

Puisqu'une parabole est symétrique, le point milieu entre les zéros représente la valeur de x du sommet

|h=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}|

Dans l'exemple cela donne:

|h=\frac{-3+5}{2}|

h=1

Pour trouver la valeur de y du sommet, on remplace x dans l'équation

y= -2 (x+3)(x-5)

y= -2 (1+3)(1-5)

y=-2 (4)(-4)

y=32

Donc, les coordonnées du sommet sont (1,32)

À partir de ces informations, on peut tracer le graphique de la fonction

Les exercices

Les références

Mise à jour : 27 juin 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 4, secondaire 5
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse