La réciproque de la fonction racine carrée

La réciproque à l’aide d’un graphique

Pour trouver la réciproque d’une fonction racine carrée à l’aide d’un graphique, il nous suffit de tracer la droite d’équation y = x, puis d’effectuer une symétrie par rapport à cet axe. Le graphique ainsi trouvé est la réciproque de notre fonction racine carrée.


Il faut garder en mémoire que la réciproque d’une fonction racine carrée est une fonction quadratique RESTREINTE. Ce n’est qu’une partie de la parabole.

La réciproque de façon algébrique

1. On change le « x » pour le « y » et le « y » pour le « x ».

2. On isole la variable dépendante « y »

La restriction de la réciproque d'une fonction racine carrée

La réciproque de la fonction racine carrée a donc la forme d’une fonction quadratique. Mais il ne faut pas oublier que ce n’est qu’une demi-parabole qui est en fait la réciproque d’une fonction racine carrée .

Il faut trouver la restriction du domaine. Pour ce faire, il nous faut trouver le sommet de cette parabole. Le sommet nous est donné dans l’équation de la réciproque, car celle-ci est sous la forme canonique.


On remarque que les coordonnées du sommet sont inversées, or il en va de même pour le domaine et l'image.

C'est donc, l'image de la fonction racine carrée qui pose la restriction dans la parabole.

Dans notre exemple, l'image dans la fonction racine carrée est la suivante [10,∞.

Le domaine de la fonction quadratique ( la parabole) sera [10,∞.

L’équation de la fonction réciproque de notre exemple est donc la fonction quadratique restreinte suivante :


On peut vérifier graphiquement cette fonction réciproque.


Reprenons la même fonction racine carrée initiale, mais changeons le signe du paramètre a .

Nous arrivons exactement à la même équation pour la réciproque. Ce qui va faire une différence cette fois c’est la restriction, le domaine qui ne sera pas le même.

Trouvons cette restriction. Les coordonnées du sommet sont les mêmes.


Dans notre exemple, l'image dans la fonction racine carrée est la suivante -∞,10].

Le domaine de la fonction quadratique ( la parabole) sera -∞,10].

L’équation de la fonction réciproque de notre exemple est donc la fonction quadratique restreinte suivante :


On peut vérifier graphiquement cette fonction réciproque.

Les exercices

QUESTION 1

J'ai une fonction racine carrée f(x) = -2  x½ + 10 . Comment trouver la réciproque et comment est-elle représentée sur un graphique?

RÉPONSE 1

La réciproque d'une fonction racine carrée égale une fonction quadratique, mais restreinte.

En fait, une fonction quadratique a deux branches, mais dans la réciproque de la fonction racine carrée tu dois poser que le codomaine, de la fonction de départ devient le domaine de la fonction réciproque pour prendre une seule branche.

Allons-y avec ton problème (en passant rc = racine carrée)

y = -2(rcX)+10

On intervertit les variables :
x = -2(rcY)+10

On isole le "y" :

x-10 = -2(rcY)

(x-10)/-2x = rcY

On pose un ² pour enlever la racine :

((x-10)/-2)² = y

Dominik

QUESTION 2

Donne la réciproque de la fonction racine carrée suivante : y= -2 racine carée de -(x-7)+5

RÉPONSE 2

Pour ce qui est des équations, tu peux trouver la réciproque en isolant ton "x" (la variable indépendante).  Lorsque x est isolé, on pourra interchanger les "x" et les "y".  

Isolons "x" :

y - 5 = -2 racine(-(x-7))

(y-5) / (-2) = racine (-(x-7))

(y-5)2 / (-2)2 = -(x-7)

(y2-10y + 25) / 4 = -x + 7

(y2 - 10y + 25 ) / 4 = -x + 28/4

(y2 - 10y + 25) / 4 - 28 /4 = -x

(y2 - 10y - 3) / 4 = -x

(-y2 + 10y + 3) / 4 = x

On a réussit à isoler x.  Il ne nous reste qu'à changer les "x" et les "y" pour obtenir l'équation finale de la réciproque.

y = (-x2 + 10x + 3) / 4

Dans le cas de ta fonction racine carré, il y a une restriction à établir.  Le "sommet" de la fonction racine carré était (7, 5).  Le domaine de la fonction réciproque que l'on a trouvé, qui est une fonction quadratique, est limité.  Ce n'est pas toute la parabole, mais seulement une branche de celle-ci.  Le domaine est ] - infini, 5 ].

Simon


Les références

Mise à jour : 02 juillet 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 4, secondaire 5
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse