La règle d'une suite

Trouver le terme d'une suite 

Trouver la règle d'une suite


Une règle est une équation mathématique qui met en relation des éléments appartenant à deux ensembles.


Pour trouver une règle mathématique, il faut mettre en relation deux ensembles et comprendre qu’est-ce qui les unit; comment ils évoluent ensemble.

Par exemple, si on veut connaître le 58 000 e nombre impair, il y a un moyen plus facile que de compter les termes un à un jusqu’au 58 000e nombre impair.

La règle d'une suite arithmétique

La règle d'une suite arithmétique peut s'écrire sous la forme suivante:

|Terme = régularité \times rang\,du\,terme + nombre|

Dans cette formule, on peut changer changer le mot régularité par raison.

|Terme = raison\times rang\,du\,terme + nombre|

On peut aussi écrire cette formule en utilisant une forme abrégée.


Méthodes pour calculer la règle d’une suite

Voici les deux règles à suivre pour trouver la règle d'une suite

1. La distance entre chaque terme représente la régularité (la raison) de la règle.

2. L'idée est d'écrire les termes de la suite dans une table des valeurs en ordonnant leur rang respectif. On trouve le nombre à additionner ou soustraire en remplaçant le terme et la régularité par un couple dans la table des valeurs.

Prenons la table de valeurs suivante :


1. La distance entre chaque terme représente la régularité (la raison) de la règle.

7 – 5 = 2
9 – 7 = 2
11 – 9 = 2

La régularité est donc de 2. On peut donc écrire :

|t = 2\times n + nombre|

2. On trouve le nombre à additionner ou soustraire en remplacant le terme et la régularité par un couple dans la table des valeurs.

Prenons le couple (3,9). on remplace t par 9 et n par 3

|9= 2\times 3 + nombre|

|9= 6 + nombre|

On doit remplacer le nombre par 3 pour respescter l'égalité.

|9=6+3|

La règle est donc la suivante

|t=2n+3|

Prenons la table de valeurs suivante :



1. La distance entre chaque terme représente la régularité (la raison) de la règle.

-14 – - 12 = -2
-16 – -14 = -2
-18 – -16 = -2

La régularité est donc de -2. On peut donc écrire :

|t = -2\times n + nombre|

2. On trouve le nombre à additionner ou soustraire en remplacant le terme et la régularité par un couple dans la table des valeurs.

Prenons le couple (1,-12). on remplace t par -12 et n par 1

|-12= -2\times 1 + nombre|

|-12= -2 + nombre|

On doit remplacer le nombre par -10 pour respescter l'égalité.

|-12=-2+ -10|

La règle est donc la suivante

|t=-2n-10|

Les exercices

QUESTION 1

Ma question est un peu large. Mais j'aimerais me faire expliquer brièvement comment savoir le rang d'un terme dans une suite...

RÉPONSE 1

Une règle de nombre s'exprime comme ceci:

t= 5n + 8

le t, c'est le terme

le n, c'est le rang

si on te donne le terme, remplace le t par sa valeur dans son équation:

Exemple

Trouvons le rang du terme 43 (t = 43)

t = 5n + 8

43 = 5n + 8

Tu dois trouver la valeur de n quand t vaut 43:

Pour y arriver tu peux faire l'équation inverse:

43 = 5n + 8
43 - 8 = 5n +8 - 8 (-8 de chaque côté pour garder l'égalité vraie)

35 = 5n
35/5 = 5n/5 (/5 de chaque côté pour avoir la valeur de n)

7 = n

le 43 est donc le 7e terme de la suite.

Caroline, Allô Prof

QUESTION 2

Comment fonctionne une suite arithmétique ?

RÉPONSE 2

Dans une suite arithmétique, tu additionnes une quantité (toujours la même) à chaque fois que tu montes d'un rang.  On appelle cette quantité la raison.

 n  1  2  3  4
 t  8 11  14 17   20

Regarde les valeurs "t" de la suite.  Chaque fois que le rang (n) monte d'un 1 unité, les valeurs de la suite (les termes) montent de 3 unités.

On a donc une règle qui devrait ressembler à :

t = 3n

Sauf que ce n'est pas tout !  En effet, si tu remplaces n par 1, 2, 3, 4... dans t = 3n, tu n'obtiendras pas 8, 11, 14, 17... qui sont les termes de ta suite.  Il manque quelque chose !  Tu dois additionner à 3n une certaine quantité constante.  Il ici la quantité constante est 5.

t = 3n + 5

Effectivement, si tu remplaces n par 1, 2, 3, 4... tu obtiens les termes de la suite !

t = 3(1) + 5

t = 8

ou encore...

t = 3(2) + 5

t = 11

ou encore...

t = 3(3) + 5

t = 14

ou encore...

t = 3(4) + 5

t = 17

et ainsi de suite...

Simon

QUESTION 3

Détermine la raison et le 1000e rang de la suite :

t = 7n + 12

RÉPONSE 3

rang: à chaque rang: 1er 2e, 3e, 4e... 1000e, correspond un nombre que tu peux trouver à l'aide d'une règle, dans cette règle, le rang s'écrit n ou r;

terme:  nombre associé à un rang en fonction d'une règle, dans la règle, le terme est représenté  par la lettre t;

Raison: il y a deux manières de trouver la raison. a) c'est le nombre qui multiplie le rang dans la règle. b) c'est le bond régulier entre chaque valeur de t.

Dans la règle que l'on te donne, tu dois trouver la valeur de t au millième rang. Premièrement, si c'est le millième rang, alors n = 1000.

Dans chaque règle, tu vas alors devoir remplacer le n par 1000 et effectuer le calcul pour trouver la valeur de t quand n vaut 1000.

Exemple:

t = 7n + 12
t = 7 (1000) + 12
t = 7000 + 12
t = 7012

Caroline, Allô Prof

QUESTION 4

J'ai un tableau où il y a des rangs et des valeurs numériques :

rang: 1  2   3   4     .......     x

v.n:  32  30  28 26

Il faut que je trouve une expression algébrique qui représente cette suite.

RÉPONSE 4

1, 2, 3, 4, ... : c'est le rang (n)
32, 30, 28, 26, ...: c'est le terme (t)

Si tu trouves le bond effectué d'un terme à l'autre tu trouves la régularité.

Cette régularité, dans la règle, c'est ce qui multiplie ton rang (n).

Ici, la régularité, c'est -2.

Pour compléter la règle, il reste à trouver si on doit additionner ou soustraire quelque chose après avoir multiplié. Pour y arriver essaie avec une paire:

n = 1, t = 32

-2n  = 32
-2 (1)    = 32
-2 = 32

ça ne fonctionne pas. Il va falloir ajouter quelque chose pour que ça donne vraiment 32:

-2 + 34 = 32

La règle serait:

-2n + 34 = t

Tu peux vérifier avec une autre paire de données pour vérifier si ça fonctionne.

2, 30

-2 (2) + 34 = 30
-4 + 34 = 30

Ça fonctionne!

Caroline, Allô Prof


Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse