Les fonctions affines - linéaires (degré 0 et 1)

Fonction affine de degré 0

Une fonction affine de degré 0 est une fonction qui ne varie pas, c'est-à-dire qu’elle sera toujours égale à un nombre.

Table des valeurs

Lorsque l'on analyse une table des valeurs d'une fonction affine de degré 0, on remarque que la variable y (dépendante) est toujours constante.

Soit la table des valeurs suivante


La table représente une fonction affine de degré 0, car la valeur de y est toujours constante.

Équation

On représente une équation d'une fonction affine de degré 0 par la variable y égale à un nombre.

L’équation générale pour une fonction nulle

||y=b||

La table des valeurs dans l'exemple ci-haut sera représentée par l'équation suivante

y=4

Graphique

Dans un graphique, une fonction affine de degré 0 sera représentée par une ligne droite horizontale.

L'équation y=4 donnera dans un graphique le tracé suivant:

Passage d'une forme de représentation à une autre

Pendant le vol sans escale, Montréal-Mascouche il y a 4 passagers dans l'avion. On s’intéresse au nombre de passagers qu’il y a dans l’avion pendant la durée du trajet.

La table des valeurs donnera donc:


Ce qui donnera l'équation suivante
y=4

Et le graphique se tracera ainsi:

Fonction affine de degré 1

La fonction linéaire directe

La fonction linéaire directe est une fonction donc la valeur initiale est nulle (elle passe par le point (0,0) ) et qui augmente toujours de la même valeur (le même taux de variation).

Équation

L’équation générale pour une fonction linéaire directe est de la forme :

||y=ax||

La lettre «a» représente le taux de variation.

Table des valeurs

Dans une table de valeurs d’une fonction linéaire directe, la valeur initiale (ordonnée à l’origine) est toujours nulle et le taux de variation est constant.

Soit la table des valeurs suivantes qui représente le nombre de litres dans un bain en fonction du temps en minutes.


On remarque la valeur initiale est (0,0) et que la variation en x et la variation en y sont constantes, donc c'est une fonction linéaire directe.

Graphique

Le graphique d’une fonction linéaire directe est toujours une droite qui passe par l’origine (0,0).

Si le taux de variation est positif, la droite sera inclinée vers le haut. On dira qu’elle est croissante.

Si le taux de variation est négatif, la droite sera inclinée vers le bas. On dira qu’elle est décroissante.

 

Voici un exemple de graphique du nombre de litres en fonction du temps

Passage d'une forme de représentation à une autre

Julie travaille comme caissière au supermarché du coin. Elle gagne 10$ de l’heure. On s’intéresse au salaire qu’elle aura gagné selon le nombre d’heures qu’elle aura travaillé.

On est en mesure de produire une table des valeurs.


On peut trouver l'équation à partir de cette table en prenant 2 couples (1,10) et (6,60)

|a=\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}|

 
L'équation sera


À partir de l'équation ou de la table des valeurs, on peut tracer le graphique.

La fonction linéaire partielle

La fonction linéaire partielle est une fonction donc la valeur initiale et le taux de variation ne sont jamais nulles.

Équation

L’équation générale pour une fonction linéaire partielle est de la forme :

|y=ax+b|



a= le taux de variation

b= l'ordonnée à l'origine

L'influence des paramètres a et b permet de comprendre le comportement d'une droite.

On peut aussi écrire l'équation d'une droite sous d'autres formes. Pour en savoir davantage, consultez le lien suivant: les formes d'équations d'une droite.

Graphique

Le graphique d’une fonction linéaire partielle est toujours une droite qui NE passe PAS par l’origine (0,0).

Si le taux de variation est positif, la droite sera inclinée vers le haut. On dira qu’elle est croissante.

Si le taux de variation est négatif, la droite sera inclinée vers le bas. On dira qu’elle est décroissante.

Passage d'une forme de représentation à une autre

Marc achète un paquet de 200 feuilles mobiles au début de l’année scolaire. Il utilise en moyenne 4 feuilles mobiles par jour d’école. On s’intéresse au nombre de feuilles mobiles qui lui reste dans son paquet selon le nombre de jours d’école écoulés.



On peut tracer le graphique en plaçant chacun des points dans un graphique.


Pour trouver l'équation, on calcule d'abord le taux de variation a = 



donc a=-4

La valeur de b est la valeur de l'ordonnée à l'origine (0,200), donc b=200

Cela donnera l'équation suivante:

y=-4x+200

Les exercices

QUESTION 1

Voici mon problème :

Un informaticien qui prépare un jeu vidéo veut placer des cubes virtuels dans une boîte virtuelle. L'arête des cubes mesure (x + 2) unités de longueur et les dimensions de la boîte sont les suivantes : longueur; (x + 40), largeur; (x + 20) et hauteur; (x + 3).

a) À l'aide d'un polynôme, exprime le volume d'un cube et de la boîte.

b) Si x vaut 5, quel est le nombre théorique maximal de cubes pouvant être placés dans la boîte? Si l'on double cette valeur de x, ce nombre doublera-t-il aussi?

c) La règle de correspondance traduisant la fonction déterminant le nombre théorique de cubes à placer selon x représente-t-elle une fonction affine?

RÉPONSE 1

Si on double la valeur de x, lorsque x = 5, ça devient x = 10.

Refait le calcul du nombre de petits cubes que l'on pourrait rentrer avec x = 10.

Conseil, lorsque tu auras calculé pour x = 10, calculer à nouveau avec x = 15.  Cela te permettra de répondre à c).

Pourquoi ? Parce que si c'est une règle d'une fonction affine, alors le taux de variation sera constant.  Cela veut dire que si le nombre de cubes ajoutés en passant de 5 à 10 est le même que de 10 à 15, cela veut dire que ton taux de variation est constant et que c'est une fonction affince.  Si par contre, le nombre de cubes ajoutés entre 5 et 10 est différent qu'entre 10 et 15, alors ce n'est pas une fonction affine.

Simon

QUESTION 2

Consigne: Retrouve l'équation associée ;a la table de valeur présentés. Les les traces complètes de tes démarche

La Table de valeur est comme ceci:

 x       y
-7     -52
-4     -31
 2       11
 9       60

RÉPONSE 2

Puisque c'est une relation linéaire, on sait déjà que l'équation aura la forme:

y = mx + b

où m est la pente et b est l'ordonnée à l'origine.

Puisque c'est une relation linéaire, on peut trouver la pente avec une paire de points:

    y2 - y1
m = -------
    x2 - x1

Dans la table, chaque ligne correspond à un point de la relation dont on donne la coordonnée x et la coordonnée y. Alors si tu prends les 2 premiers points de la table: p1(-7,-52) et p2(-4,-31), tu peux déterminer la pente (prends bien soins de mettre les bons chiffres aux bonnes places):

    -31 - -52   21
m = --------- = -- = 7
     -4 - -7    3

On a maintenant la pente. Il faut maintenant trouver b.

Selon la première équation, pour trouver b il nous faut la pente (on vient de la trouver!) et un point (on en a 4!): alors on peut trouver b! On a qu'a remplacer le x et le y avec les coordonnées d'un de ces 4 points. Prenons (encore une fois) p0(-7,-52):

y = mx + b

-52 = 7(-7) + b

On isole b:

-52 = -49 + b

b = -52 - -49

b = -52 + 49

b = -3

On a maintenant b. Donc l'équation devrait être:

y = 7x - 3

C'est toujours rassurant de vérifier si c'est bien la bonne équation en prenant un autre point que p1, par exemple, prenons p2(2,11). On a qu'à remplacer le x et le y de p2:

11 = 7·2 - 3

11 = 14 - 3

11 = 11

C'est donc la bonne équation!

Martin Lemieux


Les références

Mise à jour : 27 juin 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 3, secondaire 4
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse