Les formes d'équations d'une droite

La forme fonctionnelle d’une droite

La forme fonctionnelle d’une droite est

y=ax+b

a est la pente de la droite (taux de variation)
b est l’ordonnée à l’origine (valeur initiale)

Les droites ci-dessous sont exprimées sous la forme fonctionnelle:

y=2x+3
y= -3x -6
|y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}|

La forme générale d’une droite

La forme générale d’une droite est :

Ax+By+C=0

L’équation doit être égale à 0.
A doit être positif.
A, B et C doivent être entiers.
La pente (taux de variation) de la l'équation peut être calculée en utilisant la formule |m=\frac{-A}{B}|
L'ordonnée à l'origine (valeur initiale) se calcule avec la formule |y=\frac{-C}{B}|

Les droites ci-dessous sont de la forme générale:

2x-3y+7=0
x+6y-9=0

La droite ci-dessous n'est pas exprimée sous la forme générale puisque le A est négatif et fractionnaire.

|\frac{-x}{2}+3y-7=0|

Il est possible d'exprimer cette droite sous la forme générale en multiplant par -2 pour éliminer la fraction et le signe négatif Pour la lettre A.

|-2\cdot(\frac{-x}{2}+3y-7=0)|

Cela donne l'équation suivante

x-6y+14=0

La forme symétrique d’une droite

La forme symétrique d’une droite est :

|\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1|

a est l’abscisse à l’origine (le zéro)
b est l’ordonnée à l’origine (la valeur initiale)
La pente (taux de variation) peut se calculer par la formule: |m=\frac{-b}{a}|

Le x et le y doivent avoir un coefficient égal à 1.

Il est aussi important que a ≠ 0 et que b ≠ 0 puisqu’une division par 0 est indéterminée.

Les droites ci-dessous sont de la forme symétrique:

|\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1|

La droite ci-dessous n'est pas exprimée sous la forme symétrique:
|\frac{2x}{3}-\frac{7y}{4}=1|

Cependant, il est possible de l'exprimer sous la forme symétrique, en plaçant les coefficients devant x et y au dénominateur:

|\frac{x}{(\frac{3}{2})}-\frac{y}{(\frac{4}{7})}=1|

Comment passer d'une forme à l’autre

Afin de montrer de quelle façon on peut passer d'une forme à l'autre, on utilisera un exemple.


Quelle est l’équation de la droite qui passe par les points A(10, 4) et B(-5,-8)? 
Trouvons la réponse sous les trois formes différentes:

La forme fonctionnelle

On détermine d'abord la valeur de la pente de la droite.
 


On remplace un point connu dans l’équation afin de trouver l’ordonnée à l’origine.

-8 = -4 + b
-4 = b
 
L’équation sous forme fonctionnelle est :

La forme générale

À partir de l'équation ci -haut


On doit multiplier par 5 pour enlever le dénominateur.
|5\cdot(y=\frac{4}{5}x-4)|

|5y=4x-20|

On déplace le 5y de l'autre côté du égal pour mettre le tout égal à zéro

0 = 4x – 5 y – 20

La forme symétrique

À partir de la forme générale on déplace le 20 de l'autre côté du égal

20 = 4x -5y
 
Il faut que l’égalité soit égale à 1. On divise donc tous les termes par 20.


Quand on simplifie, on obtient :


On apprend ainsi que l’abscisse à l’origine de la droite est 5 et que son ordonnée à l’origine est -4.

Les exercices

Les références

Mise à jour : 30 mai 2013
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 3, secondaire 4
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse