La composition de fonctions

La composition de fonctions  consiste à remplacer la variable dépendante de la première fonction par la variable indépendante, ou son égalité, de la seconde fonction.

Étant donné deux fonctions réelles f et g, on définit la  composition de deux fonctions comme suit :

|(g\circ f)(x)=g(f(x))|

La fonction |(g\circ f)| est appelée la composée de f et de g.

•  Le domaine de la composition doit tenir compte des restrictions des deux fonctions de départ.

•  Il ne faut pas confondre le symbole de la multiplication avec la symbole de la composition de fonctions

multiplication:  |\bullet|

composition:|\circ|

La représentation algébrique de la composition de fonctions

Exemple 1

La fonction f est définie par |f(x)=3x+3| et la fonction g est définie par |g(x)=x+5|.

|(f\circ g)(x)=f(g(x))|
                |= 3(x+5)+3|
                |=3x+15+3 |
                |=3x+18|
 

Le domaine de la fonction f correspond à |\mathbb{R}| et le domaine de la fonction g correspond aussi à |\mathbb{R}|. Puisqu'il n'y a pas de restriction dans les deux fonctions initiales, le domaine de la fonction |(f\circ g)(x)| sera donc |\mathbb{R}|.

Exemple 2

La fonction m est définie par |m(x)=5x-7| et la fonction n est définie par |n(x)=\frac{2}{x+5}| .

|(m\circ n)(x)=m(n(x))|

                  |=5(\frac{2}{x+5})-7|

                  |=\frac{10}{x+5}-7|

            
Le domaine de la fonction m correspond à |\mathbb{R}| et le domaine de la fonction n correspond à |\mathbb{R}|\-5. Puisqu'il y a une restrictiondans la fonction n, le domaine de la fonction |(f\circ g)(x)| sera donc |\mathbb{R}|\-5.

La représentation graphique de la composition de fonctions

la technique la plus simple pour tracer la composition de deux fonctions est de déterminer le composé algébriquement. Par la suite on trace la fonction selon ses particularités et ses restrictions.

Retour sur l'exemple 1

Le composée de f et g est l'équation d'une droite. La représentation graphique de ce composé est donc la suivante.

Retour sur l'exemple 2

Le composée de m et n est l'équation d'une fonction rationnelle. La représentation graphique de ce composé est donc la suivante.

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse