La différence de fonctions

On effectue des opérations sur les fonctions de la même manière que l’on effectue des opérations sur les nombres. On peut donc effectuer la différence de fonctions polynomiales.

Étant donné deux fonctions réelles f et g, on définit la différence de ces deux fonctions comme suit :

|(f-g)(x)=f(x)-g(x)|    

ou

|h(x)= f(x)-g(x)| où h est la résultante de la soustraction.

  • Le domaine de la fonction différence correspond à l’intersection des domaines des fonctions sur lesquelles on opère.

La représentation algébrique de la différence de fonctions

Exemple 1

Soit la fonction c est définie par |c(x)=x^{2}-1| et la fonction d est définie par |d(x)=2x+3|. La différence de ses fonctions donnera la résultante suivante:

|(c-d)(x)= c(x)-d(x)|

           |=(x^{2}-1)-(2x+3)|

           |=x^{2}-1-2x-3|

           |=x^{2}-2x-4|
 
Le domaine de la fonction c correspond à |\mathbb{R}| et le domaine de la fonction d correspond aussi à |\mathbb{R}|. Le domaine de la fonction c-d  correspondra à l’intersection des deux domaines initiaux. Le domaine de la fonction sera donc |\mathbb{R}|.

Exemple 2

La fonction p est définie par |p(x)=4\, sin\,\frac{\pi}{10}(x)|et la fonction q est définie par |q(x)=\frac{x}{5}|. La différence de ses fonctions donnera la résultante suivante:

|(p-q)(x)= p(x)-q(x)|

           |=4\, sin\,\frac{\pi}{10}(x)-\frac{x}{5}|
 
Le domaine de la fonction p correspond à |\mathbb{R}|  et le domaine de la fonction q correspond à |\mathbb{R}|. Le domaine de la fonction p-q  correspondra à l’intersection des deux domaines initiaux. Le domaine de la fonction sera donc |\mathbb{R}|.

La représentation graphique de la différence de fonctions

Pour trouver la différence de fonction polynomiale dans un graphique, on soustrait l’image  de la première fonction par l'image de la deuxième fonction.

Pour être en mesure de produire le graphique, on peut faire une table des valeurs ou en utilisant les particularités de la fonction résultante.

Retour sur l'exemple 1

  • Dans le premier exemple, si on fait une table des valeurs des fonctions  |c(x)=x^{2}-1|, |d(x)=2x+3| et de la différence de c-d.
x c(x) d(x) (c-d)(x)
0 -1 3 -4
1 0 5 -5
2 3 7 -4
3 8 9 -1
4 15 11 4
  • Puisque la résultante est une  fonction quadratique, on peut utiliser les formules associées pour trouver le sommet et les zéros.

Sommet:

|(c-d)(x)=x^{2}-2x-4|

|h=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=1|

|(c-d)(x)=1^{2}-2\cdot1-4=-5|

Donc (h,k)= (1,-5)
 
Zéros:

|\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}|

|x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot-4}}{2\cdot1}|
 
On trouve (-1,24 ; 0) et (3,24 ; 0)


Dans les deux cas, on arrive au graphique suivant:

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse