Le produit de fonctions

On effectue des opérations sur les fonctions de la même manière que l’on effectue des opérations sur les nombres.

Étant donné deux fonctions réelles f et g, on définit le produit de ces deux fonctions comme suit :

|(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)|    

ou

|h(x)= f(x)\cdot g(x)| où h est la résultante de la multiplication.

Le domaine de la fonction somme correspond à l’intersection des domaines des fonctions sur lesquelles on opère.

Il ne faut pas confondre le symbole de la multiplication avec la symbole de la composition de fonctions

multiplication : |\cdot|

composition : |\circ|

La représentation algébrique du produit de fonctions

Exemple 1

La fonction s est définie par |s(x)=\frac{1}{(x^{2}-1)}| et la fonction t est définie par |t(x)=x^{2}-x|. Le produit de ses fonctions donnera la résultante suivante:

|(s\cdot t)(x)=s(x)\cdot t(x)|

                 |=\frac{1}{(x^{2}-1)}\cdot x^{2}-x|

                 |=\frac{1}{(x+1)(x-1)}\cdot x(x-1)|
                
                 |=\frac{x}{(x+1)}| ou   |=\frac{-1}{(x+1)}+1|
 
Le domaine de la fonction s correspond à |\mathbb{R}|\{-1,1}  et le domaine de la fonction t correspond à |\mathbb{R}|. Le domaine de la fonction |s\cdot t| correspondra à l’intersection des deux domaines initiaux. Le domaine de la fonction  sera donc |\mathbb{R}|\{-1,1}.

Exemple 2

La fonction u est définie par |u(x)=\frac{2x^{2}-1}{x+3}| et la fonction v est définie par |v(x)=-1| .

|(u\cdot v)(x)=u(x)\cdot v(x)|

                  |=\frac{2x^{2}-1}{x+3}\cdot -1|

                  |=\frac{-2x^{2}+1}{x+3}|

Le domaine de la fonction u correspond à |\mathbb{R}|\{-3} et le domaine de la fonction v correspond à |\mathbb{R}|. Le domaine de la fonction |u\cdot v|  correspondra à l’intersection des deux domaines initiaux. Le domaine de la fonction sera donc |\mathbb{R}|\{-3} .

La représentation graphique du produit de fonctions

Pour trouver le produit de fonctions polynomiales dans un graphique, on multiplie l’image de la première fonction par l'image de la deuxième fonction.

Pour être en mesure de produire le graphique, on peut faire une table des valeurs ou en utilisant les particularités de la fonction résultante.

Retour sur l'exemple 1

  • Dans le premier exemple, si on fait une table des valeurs des fonctions  |s(x)=\frac{1}{(x^{2}-1)}| , |t(x)=x^{2}-x|et le produit de |c\cdot d|.

x c(x) d(x) (c|\cdot|d)(x)
0 -1 0 0
1 non défini 0 non défini
2 1/3 2 2/3
3 1/8 6 3/4
4 1/15 12 4/5
  • Puisque la résultante est une fonction rationnelle,  on peut utiliser ses particularités pour tracer l'équation.

    |(c\cdot d)(x)=\frac{-1}{(x+1)}+1|

    - On a deux asymptotes x=-1 et y =1

    - Puisque ab<0, la fonction se retrouve dans le 2e et le 4e quadrant

Dans les deux cas, on arrive au graphique suivant:

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse