Le quotient de fonctions

On effectue des opérations sur les fonctions de la même manière que l’on effectue des opérations sur les nombres.

Étant donné deux fonctions réelles f et g, on définit le quotient de ces deux fonctions comme suit :

|(\frac{f}{g})(x)=f(x)\div g(x)| où |g(x)\neq0|

ou

|h(x)= f(x)\div g(x)| où |g(x)\neq0| et h est la résultante du quotient.

Le domaine de la fonction résultante correspond à l’intersection des domaines des fonctions sur lesquelles on opère, mais en excluant de cette intersection la ou les valeurs du domaine qui annulent le dénominateur de cette fonction.

La représentation algébrique du quotient de fonctions

Exemple 1

La fonction a est définie par |a(x)=6x+2| et la fonction b est définie par |b(x)=2x^{2}+4|.

|(\frac{a}{b})(x)=a(x)\div b(x)| où |b(x)\neq0|

                       |=\frac{6x+2}{2x^{2}+4}|

                       |=\frac{2(3x+1)}{2(x^{2}+2)}|

                       |= \frac{(3x+1)}{(x^{2}+2)}|
 

Le domaine de la fonction a correspond à |\mathbb{R}| et le domaine de la fonction b correspond aussi à |\mathbb{R}|. Le domaine de la fonction |(\frac{a}{b})| correspondra à l’intersection des deux domaines initiaux en y enlevant les valeurs qui annulent la fonction b. Or la fonction b est strictement positive. Donc le domaine de la fonction sera donc |\mathbb{R}|.

Exemple 2

La fonction m est définie par m(x)=2x-6  et la fonction n est définie par n(x)=x-3.

|(\frac{m}{n})(x)=m(x)\div n(x)| où |n(x)\neq0|

                       |=\frac{2x-6}{x-3}|

                       |=\frac{2(x-3)}{x-3)}|

                       |= 2|
 

Le domaine de la fonction m correspond à |\mathbb{R}| et le domaine de la fonction n correspond aussi à |\mathbb{R}|. Le domaine de la fonction |\frac{m}{n}| correspondra à l’intersection des deux domaines initiaux en y enlevant les valeurs qui annulent la fonction n. La fonction n devient nulle lorsque |x=3|. Donc le domaine de la fonction |\frac{m}{n}| sera donc |\mathbb{R}|\{3}.

Le domaine de la fonction |\frac{m}{n}| sera encore |\mathbb{R}|\{3} même après la simplification.

La représentation graphique du quotient de fonctions

Pour trouver le quotient de fonctions polynomiales dans un graphique, on divise l’image de la première fonction par l'image de la deuxième fonction.

Pour être en mesure de produire le graphique, on peut faire une table des valeurs ou en utilisant les particularités de la fonction résultante.

Retour sur l'exemple 1

  • Dans le premier exemple, si on fait une table des valeurs des fonctions|a(x)=6x+2|, |b(x)=2x^{2}+4| et du quotient des 2 fonctions.
x a(x) b(x) |a(x)\div b(x)|
0 2 4 1/2
1

8

6 4/3
2 14 12 7/6
3 20 22 10/11
4 26 36 13/18

Voici la représentation graphique de l’exemple 1

 

Retour sur l'exemple 2

Voici la représentation graphique de l’exemple 2. Il est important de ne pas oublier les restricftions lorsque l'on trace la résultante


 

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse