Les propriétés des fonctions réelles

Le domaine et l'image d’une fonction

Pour une fonction f(x), toutes les valeurs que peut prendre la variable x constituent le domaine.

  • On utilise habituellement la notation par intervalle ou par accolades pour exprimer le domaine d'une fonction.

  • On peut également, dans certains cas, donner le domaine en termes d'un ensemble.

Quel est le domaine de la fonction y = 12x – 1?


Le domaine de cette fonction est composé de tous les nombres réels, car les valeurs que la variable x peut prendre sont comprises entre moins l’infini et plus l’infini.

En langage mathématique, on écrire le domaine de la façon suivante

|domf=\{x\varepsilon\mathbb{R}\}|

|domf=]-\infty,+\infty[|


Pour une fonction f(x), toutes les valeurs que peut prendre f(x) (communément appelée y) constituent l'image (codomaine)

  • On utilise habituellement la notation par intervalle ou par accolades pour exprimer l'image d'une fonction.

  • On peut également, dans certains cas, donner l'image en termes d'un ensemble.

Quel est le domaine de la fonction y = 12x – 1?


Le domaine de cette fonction est composé de tous les nombres réels, car les valeurs que la variable y peut prendre sont comprises entre moins l’infini et plus l’infini.

En langage mathématique, on écrire le domaine de la façon suivante

|imaf=\{y\varepsilon\mathbb{R}\}|

|imaf=]-\infty,+\infty[|

La croissance d’une fonction

Sur un intervalle du domaine (intervalle de x), la croissance représente la variation positive (croissante) ou négative (décroissante) de l'image.

On dira qu’une fonction est constante si, pour un intervalle du domaine donné, les valeurs de l'image demeurent inchangées.

Soit le grahpique suivant



La fonction est croissante sur l'intervalle [0,2].

La fonction est décroissante sur l'intervalle [4,8].

La fonction est constante sur l'intervalle [2,4].

Le maximum et le minimum d’une fonction

Le maximum d’une fonction correspond à la valeur maximale de l’image (y).

Le minimum d’une fonction correspond à la valeur minimale de l’image (y).


          Dans le graphique suivant                             Dans le graphique suivant
             le minimum (y) est de 3.                                     le maximum (y) est de 1.

Le signe d’une fonction

Afin de déterminer du signe d'une fonction, on regarde les valeurs en ordonnée (y) de cette fonction.

  • On dira qu’une fonction f(x) est positive sur un intervalle donné (en x) si, sur cet intervalle, les valeurs de f(x) sont supérieures ou égales à 0 (positives).

  • On dira qu’une fonction f(x) est négative sur un intervalle donné (en x) si, sur cet intervalle, les valeurs de f(x) sont inférieures ou égales à 0 (négatives).

  • On dira qu’unefonction f(x) est nulle sur un intervalle donné (en x) si, sur cet intervalle, les valeurs de f(x) sont égales à 0.

 
Soit le graphique suivant:



La fonction est négative sur l'intervalle |]-\infty,-3|

La fonction est constante sur l'intervalle |[-3,0]|

La fonction est négative sur l'intervalle |0,\infty[|

Les coordonnées à l’origine d’une fonction

L’abscisse à l’origine est la coordonnée en x du point qui se trouve directement sur l’axe des x. Bref, c'est la valeur de x lorsque y=0 (x,0).

L’ordonnée à l’origine est la coordonnée en y du point qui se trouve directement sur l’axe des y. Bref, c'est la valeur de y lorsque x=0 (0,y)

Les abscisses à l'origine sont communément appelées les zéros de la fonction.
Soit le graphique suivant


- L'ordonnée à l'origine est de 3.

- L'abscisse à l'origine est de -3.

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse