La factorisation des nombres

Les diviseurs d’un nombre

Un diviseur est un nombre qui peut en diviser un autre sans qu'il n'y ait de reste

Si on veut énumérer les diviseurs d’un nombre, on se questionne sur les diviseurs possibles en ordre croissant…


Quand on se rend compte que les deux nombres qui sont côte à côte se multiplient ensemble pour faire 24, il ne reste qu’à compléter les paires de facteurs.


Parmi la liste de diviseurs, il y a des nombres premiers.
Parmi les diviseurs de 24 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, les nombres premiers sont : {2,3}.

La factorisation d’un nombre

La factorisation d’un nombre est son écriture sous la forme d'une multiplication de deux ou plusieurs facteurs.
Les facteurs sont les termes qui interviennent dans une multiplication.

 


56 = 2 x 28 
    = 4 x 14

2 est un diviseur de 56.
28 est un diviseur de 56.

2 et 28 sont des facteurs de 56.



Les multiplications ne sont pas uniquement composées de nombres premiers, mais aussi de nombres composés.

Méthode : Arbre des facteurs

La factorisation première d’un nombre

La factorisation première d’un nombre est sa décomposition en facteurs premiers. Autrement dit, c'est son écriture sous forme d'une multiplication de facteurs qui sont uniquement des nombres premiers. On y parvient en construisant un arbre des facteurs.

 

 

Le PPCM et le PGCD

Lorsqu’on veut connaître le PGCD et le PPCM de deux nombres, il est inutile de faire deux fois le travail, car on peut le faire en même temps. Il existe deux méthodes qui nous permettent de trouver le PGCD et le PPCM en même temps.

Méthode 1 : le tableau des diviseurs

Si on cherche le PPCM et le PGCD de deux nombres, on peut utiliser un tableau de diviseurs. La colonne de gauche sera celle des diviseurs : on doit y inscrire des diviseurs qui sont de nombres premiers en commençant par 2, 3, 5 et ainsi de suite. Ces diviseurs divisent l’un ou les deux nombres. On inscrit la réponse de la division vis-à-vis le facteur et vis-à-vis le nombre divisé. Le tableau est terminé lorsqu’on retrouve un 1 dans chaque colonne.

On cherche le PPCM et le PGCD des nombres 30 et 54.



Pour trouver le PPCM, on multiplie tous les diviseurs de la colonne de gauche. Pour trouver le PGCD , on multiplie les diviseurs qui ont des résultats dans les deux colonnes.

Méthode 2 : l’arbre des facteurs et diagramme

Pour trouver le PPCM et le PGCD, on peut aussi construire un arbre de facteurs. Pour construire un arbre de facteurs, on trouve tout d’abord deux facteurs au nombre. Ensuite, on trouve deux facteurs à ces nouveaux facteurs sauf s’ils sont premiers. L’arbre est terminé quand toutes les branches sont des nombres premiers.

On veut connaître le PGCD et le PPCM de 48 et 40.


Une fois que l’on a trouvé tous les facteurs premiers, on peut trouver le PPCM et le PGCD. Pour le PPCM, on multiplie ensemble tous les facteurs : si un facteur se répète dans les deux séries, on le multiplie une seule fois . Pour le PGCD , on multiplie seulement les facteurs communs aux deux séries.



Après avoir fait l’arbre des facteurs premiers, on peut placer ces facteurs dans un diagramme pour que ce soit plus facile:

Exerciseur

Les exercices

QUESTION 1

Écris le nombre 1600 selon un produit de facteurs premiers.

RÉPONSE 1

La décomposition d'un nombre en ses facteurs premiers; par exemple, les facteurs premiers de 60 sont 22 x 3 x 5. On peut se servir de cet arbre pour trouver la réponse d'un nombre.

En bref, tu dois décomposer ton nombre en allant chercher les nombres premiers.

Voici comment faire avec un de tes exemples : je décompose mon nombre en facteurs premiers

1600

2 x 800
2 x 400
2 x 200
2 x 100
2 x 50
2 x 25
5 x 5
La réponse serait donc : 26 x 52

Dominik


Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse