Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

PGCD est l’acronyme de Plus Grand Commun Diviseur.

Il s'agit du plus grand nombre qui est un diviseur de chacun des nombres comparés.

 

 

Dans un restaurant, on a deux réservations de groupes pour la soirée : un groupe de 60 personnes et un groupe de 90 personnes. On souhaite les répartir à des tables où pourront s’asseoir le plus de personnes possible, mais on veut qu’il y ait le même nombre de personnes à chaque table. Combien y aura-t-il de personnes assises à chaque table?

Pour le groupe de 60 personnes, on peut faire des tables (égales en nombre de personnes) de :
1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 12 , 20 , 30 , 60

Pour le groupe de 90 personnes, on peut faire des tables (égales en nombre de personnes) de :
1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 , 18 , 30 , 45 , 90

Plusieurs diviseurs sont communs, mais le plus grand d’entre eux est 30. Il y aura donc 30 personnes assises à chaque table. On sépare le premier groupe en 2 tables et le deuxième groupe en 3 tables de 30 personnes.

 

Trouver le PGCD – Méthode 1 : les diviseurs des nombres

On peut trouver le PGCD en dressant la liste des diviseurs de chacun des nombres comparés. Cette méthode convient surtout pour de petits nombres .

On cherche le PGCD de 30, 45 et 90

30 : { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30}
45 : { 1 , 3 , 5 , 9 , 15 , 45}
90 : { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 , 18 , 30 , 45 , 90}

Le plus grand diviseur qui se retrouve dans chaque ensemble est 15

Donc,
PGCD (30, 45, 90) = 15

 

Trouver le PGCD – Méthode 2 : le tableau des diviseurs

Étape 1 : Soit deux nombres, 60 et 90. On place chacun d’eux dans un tableau.

Étape 2 : Ensuite, on divise ces deux nombres par des nombres premiers en commençant par 2, puis en continuant avec 3, 5, 7, 11, 13 et ainsi de suite.



Étape 3 : On poursuit les divisions jusqu’à ce que les nombres n’aient plus de diviseurs communs.

Pour trouver le PGCD, on multiplie ensuite tous les diviseurs premiers (les chiffres de la colonne de gauche). Dans ce cas-ci :

2 , 3 et 5 → 2 × 3 × 5 = 30

Et la réponse est :
PGCD (60, 90) = 30

 

Trouver le PGCD – Méthode 3 : l’arbre de facteurs

On veut connaître le PGCD de 48 et 40.

 

S’il y a plus de deux nombres comparés, le principe est le même : il faut retenir les facteurs communs à tous les arbres de facteurs.

 

Exerciseur

Les exercices

Autres exercices sur le PGCD


Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse