Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

PPCM est un acronyme de Plus Petit Commun Multiple.

Le PPCM de nombres que l’on compare entre eux est le plus petit nombre qui est un multiple de ces nombres.

 

Deux hommes plusieurs fois le tour d’une piste. Le premier prend 30 minutes pour réaliser un tour de piste, alors que le second prend 45 minutes. S’ils sont partis en même temps, à quel moment vont-ils se rencontrer pour la première fois?

On imagine les deux hommes parcourant la piste…



Le premier revient au point de départ après : 30, 60, 90, 120, … minutes.
Le deuxième revient au point de départ après : 45, 90, 135, … minutes.

Donc, ils vont se retrouver au point de départ après 90 minutes.

Pendant ce temps le premier homme aura parcouru 3 tours et le deuxième, 2 tours.

Dans cet exemple, on a trouvé le PPCM de 30 et 45. Il s'agit de 90.

On a aussi trouvé par combien il faut multiplier chacun des nombres comparés pour obtenir le PPCM de 90 : il faut multiplier 30 par 3 et 45 par 2.

 

Trouver le PPCM – Méthode 1 : les multiples des nombres

On peut trouver le PPCM en dressant tout simplement la liste des multiples de chacun des nombres comparés. Cette méthode convient surtout pour les petits nombres .

On cherche le PPCM de 6 , 8 , 12.

Listes des multiples de chacun des nombres comparés :

6 {6, 12, 18, 24 , 30, 36, 48, …}
8 {8, 16, 24 , 32, …}
12 {12, 24 , …}

Le plus petit commun multiple (qui se retrouve dans chaque ensemble) est 24

On écrit la réponse ainsi :

PPCM (6, 8, 12) = 24

On peut arrêter les listes quand on trouve un multiple commun à tous les nombres comparés.

 

Trouver le PPCM – Méthode 2 : le tableau des diviseurs

Étape 1 : Prenons deux nombres, 12 et 108 . On place chacun d’eux dans un tableau .

Étape 2 : Ensuite, on divise ces deux nombres par des nombres premiers, en commençant par 2, puis, si cela ne fonctionne pas avec 2, en continuant avec 3, 5, 7, 11, 13 et ainsi de suite, jusqu’à ce que cela fonctionne.

Étape 3 : On poursuit les divisions jusqu’à ce que les nombres soient devenus 1 dans chaque colonne.



Pour trouver le PPCM, il faut ensuite de multiplier ensemble tous les diviseurs premiers de la colonne de gauche.

Dans ce cas-ci : 2, 2, 3, 3 et 3 à 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 108

On écrit la réponse ainsi :

PPCM (12, 108) = 108

 

Trouver le PPCM – Méthode 3 : l’arbre de facteurs et le diagramme

Quand on cherche le PPCM de deux ou plusieurs nombres, on trouve d’abord le plus petit multiple de ces nombres.

Pour trouver le PPCM, on peut construire un arbre de facteurs.



On peut aussi employer la méthode du diagramme.

Pour trouver le PPCM de deux nombres.



Pour trouver le PPCM de plusieurs nombres, on utilise la même méthode que la précédante. C'est-à-dire on produit l'arbre des facteurs premiers de chaque nombre.

Exerciseur

Les exercices

Exercices sur le PPCM et mise en contexte


Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse