Transformer un nombre décimal périodique en une fraction

Transformer le nombre périodique 2,666666666... (|2,\overline{6}|) en fraction.

Solution

Nous utiliserons une méthode en 5 étapes que voici :

Étape 1

On pose notre nombre périodique égale à n:
|2,\overline{6}| = n

Étape 2
On multiplie de chaque côté de l'égalité par une puissance de 10 (10, 100, 1000, etc.) de façon à ce que la période soit à droite de la virgule.
(ici la période est 6, alors on multiplie par 10. Si la période possède 2 chiffres, on multiplie par 100,  si elle possède 3 chiffres, on multiplie par 1000, etc.)

|2,\overline{6}| = n
|26,\overline{6}| = 10n

Étape 3
On soustrait les deux équations de l'étape 2 ensemble. On soustrait la plus petite à la plus grande. Les membres de gauche de l'égalité sont soustrait entre eux, les membres de droite entre eux aussi.

|26,\overline{6}-2,\overline{6}=10n - n|
                 24=9n

Étape 4

Pour trouver la valeur de n sous forme fractionnaire, on divise de chaque côté de l'égalité par 9. (On isole n)

  24=9n
|\frac{24}{9}|=n

Étape 5

Nous avons ainsi la valeur de n, mais en notation fractionnaire, où le numérateur est 24 et le dénominateur est 9. Si on effectue la division de 24 par 9, on retrouvera notre nombre décimal périodique de départ, soit |2,\overline{6}| = n

La fraction recherchée est donc :
|\frac{24}{9}|

On peut simplifier cette fraction:
|\frac{24}{9}=\frac{24\div3}{9\div3}=\frac{8}{3}|

Les exercices

Les références

Mise à jour : 24 août 2012
Matière(s) : mathématique
Niveau(x) : secondaire 1, secondaire 2, secondaire 3, secondaire 4, secondaire 5
  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse