Les fractions équivalentes et les méthodes de réduction

Les fractions équivalentes sont des fractions qui représentent le même nombre, la même proportion.

 

Afin d'exprimer une fraction équivalente à une autre, on doit utiliser la multiplication et la division. Il est important de se souvenir que toute multiplication ou division doit être faite à la fois au numérateur et au dénominateur.
Si on multiplie le numérateur par 2, on doit aussi multiplier le dénominateur par 2.

Pour passer d'une fraction à une autre

Méthode 1 : Les calculs mathématiques

Pour passer d'une fraction à une autre fraction équivalente, on peut multiplier ou diviser cette fraction par une fraction-unité |(\frac{2}{2},\frac{3}{3}, \frac{6}{6})|.

On cherche des fractions équivalentes à |\frac{3}{4}|.

A) On peut décider de multiplier la fraction-unité |\frac{2}{2}| :

|\frac{3}{4}\times\frac{2}{2}= \frac{3\times2}{4\times2}=\frac{6}{8}|
 
B) On peut aussi décider de multiplier par |\frac{5}{5}| :

|\frac{3}{4}\times\frac{5}{5}= \frac{3\times5}{4\times5}=\frac{15}{20}|

Méthode 2 : Les portions de rectangle

On peut utiliser un rectangle pour représenter une fraction. On peut comparer ce rectangle à une tablette de chocolat à partager.  

On remarque que peu importe le nombre de divisions, la somme de toutes les portions reste la même. Les parties colorées en jaune représentent la fraction utilisée (le numérateur de la fraction). On se rend vite compte que l’on pourrait encore diviser le rectangle en de plus petites parties et trouver d’autres fractions équivalentes .

Méthode 3 : Les secteurs de cercle

On peut utiliser un cercle pour représenter une fraction. On peut comparer ce cercle à une tarte ou une pizza à partager.

On peut constater que si on mange 3 morceaux de tarte sur 4,  6 morceaux sur 8 ou 12 morceaux sur 16, on mange la même quantité de tarte. Les fractions sont donc équivalentes. On pourrait encore diviser la tarte. Plus on divise la tarte, plus les portions sont petites, mais on mange toujours la même quantité de tarte.

Méthode 4 : La droite numérique

L’avantage de disposer les fractions sur une droite numérique est que l’on peut représenter les fractions négatives aussi, ce qui est impossible avec des dessins comme les cercles et les rectangles.

On doit positionner les droites numériques les unes au-dessus des autres afin de bien voir les fractions équivalentes. Toutes les fractions superposées sont équivalentes. 

La réduction d'une fraction pour trouver des fractions équivalentes

La méthode la plus facile pour réduire une fraction est par une division. On cherche un diviseur commun entre le numérateur et le dénominateur.

On cherche à réduire la fraction|\frac{24}{32}| pour trouver une fraction équivalente.

• Puisque le numérateur et le dénominateur sont des nombres pairs, on peut les diviser par 2.

|\frac{24\div2}{32\div2}=\frac{12}{16}|.

Donc |\frac{12}{16}| est une fraction équivalente à |\frac{24}{32}|.

• On peut aussi diviser le numérateur et le dénominateur par 4.

|\frac{24\div4}{32\div4}=\frac{6}{8}|.

Lorsqu’aucune division n'est possible, c'est que la fraction est irréductible ou sous sa forme la plus réduite.

Trouver la fraction irréductible

Méthode 1 : La division répétée de facteurs communs

On divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre, et on répète ainsi successivement jusqu’à ce qu’on ne soit plus capable de trouver de diviseur commun aux deux termes.  

|\frac{24\div2}{32\div2}=\frac{12}{16}\;\;\;\frac{12\div2}{16\div2}=\frac{6}{8}\;\;\;\frac{6\div2}{8\div2}=\frac{3}{4}|

Comme 3 et 4 n'ont pas de diviseur commun autre que 1, la fraction est irréductible.

Méthode 2 : La division des deux termes par le PGCD

Étape 1 : On calcule le PGCD des deux termes.

Étape 2 : On divise les deux termes par le PGCD.

Réduction de la fraction |\frac{24}{32}|

Étape 1 :
PGCD (24,32) = 8

Étape 2 :
|\frac{24\div8}{32\div8}=\frac{3}{4}|

Les exercices

QUESTION 1

a) Trouve une fraction équivalente à 3/4 dont la somme des termes est égale à 63.

b)Trouve une fraction équivalente à 12/7 dont la différence des termes est égale à 40.

RÉPONSE 1

Pour obtenir 27/36, on a trouvé une fraction équivalente à 3/4 en multipliant 3/4 par 9/9 (égal à un, c'est pourquoi la fraction, globalement, ne change pas !)

3 / 4 = 27 / 36
27/ 36 = 3 x 9 / 4 x 9

Or, il fallait aussi respecter l'autre consigne... Il faut que :

3 x 9 + 4 x 9 = 63

Il existe une propriété en mathématique qui s'appelle la distributivité et qui nous permet d'écrire :

3 x 9 + 4 x 9 = (3 + 4) x 9 = 7 x 9

C'est là que réside la clé de la solution. Je vous rappelle que 9 nous était inconnu. Appelons le n.

Il faut trouver un n de telle sorte que (3 + 4) x n = 63

7 n = 63
n = 63 / 7 = 9

Pour trouver l'autre fraction...

On cherche une fraction égale à 12 / 7 et dont la différence entre le numérateur et le dénominateur égale 40.

(12 - 7 ) x n = 40
5n = 40
n = 8

La fraction est donc : 12 x 8 / 7 x 8 = 96 / 56

On constate avec joie que 96/56 = 12/7 et aussi que 96 - 56 = 40

Simon

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse