L'exponentiation

L'exponentiation est une opération qui consiste à affecter un exposant à une base.

Le résultat d'une exponentiation est une puissance.

Baseexposant = Puissance

L'exposant représente en fait le nombre de fois que la base est multipliée par elle-même.

 



On dit aussi que 20 736 est la 4e puissance de 12.

 

Les nombres carrés et cubiques
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Les propriétés et les lois des exposants
La puissance de 10 des nombres

 

 

Les types de base

L'exponentiation d'un nombre entier positif

On peut appliquer un exposant (négatif, nul ou positif) à toutes base représentée par un nombre entier positif.

Calculer la puissance de 75.

Solution :
Pour calculer cette puissance, il suffit de multiplier le chiffre 7 cinq fois par lui-même, soit :
7 X 7 X 7 X 7 X 7 = ?.
Cette puissance est donc de 16 807.

 

Calculer la puissance de 2-3.

Solution :
Pour calculer cette puissance, il faut d’abord écrire le problème sous forme de fraction, soit :
2 -3 .
 1

Ensuite, on doit inverser le numérateur et le dénominateur de la fraction obtenue pour que l’exposant négatif devienne un exposant positif .
 1  .
23

Enfin, on peut trouver le produit au dénominateur, soit :
2 3 = 2 X 2 X 2 = 8

Il ne restera plus qu’à trouver la valeur de :
 1  = 0,125.
 8

La puissance peut alors être écrite sous forme de nombre décimal, c’est-à-dire 0,125.

L'exponentiation d'un nombre entier négatif

On peut appliquer un exposant (négatif, nul ou positif) à toute base représentée par un nombre entier négatif.

Calculer la puissance de (-3)4.

Solution :
Pour calculer cette puissance, il suffit de multiplier le chiffre négatif -3 quatre fois par lui-même, soit :
(-3) X (-3) X (-3) X (-3) = ?.

Cette puissance est donc de + 54.

Il faut remarquer que la réponse obtenue est positive, même si la base est négative.

 

L’exponentiation des nombres entiers négatifs a une petite particularité quant à son calcul. Tout dépend de la manière dont c’est écrit. Les parenthèses ont une grande importance, mais son calcul demeure une multiplication répétée.

 

Voyons l'importance des parenthèses en calculant -62 et (-6)2.

-62 = -1 x 62

À cause de la priorité des opérations, les puissances se calculent avant les produits. Voici ce qui se passe :

On calcule en premier la puissance :
6 x 6 = 36

On calcule ensuite la produit :
-1 x 36 = -36

La réponse finale est donc : -36.

(-6)2

À cause de la priorité des opérations, on calcule les parenthèses en premier et ensuite l'exposant. Voici ce qui se passe :

On calcule la puissance tout de suite. C'est tout le nombre -6 dans les parenthèses qui se multiplie.

(-6) x (-6) = 36

La réponse finale est donc : 36.

 

Lorsque l'exposant est un nombre pair, il y a donc un nombre pair de multiplication de nombres négatifs. La puissance est positive.

exemple: (-5)4  = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = 625

Lorsque l'exposant est un nombre impair, il y a donc un nombre impair de multiplication de nombres négatifs. La puissance est négative.

exemple: (-5)3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125

L'exponentiation d'une fraction ou d'un nombre fractionnaire

Dans le cas d'une fraction ou d'un nombre fractionnaire affecté d'un exposant, il suffit encore une fois de multiplier le nombre par lui-même le nombre de fois indiqué par l'exposant en utilisant la méthode de multiplication des fractions.

|\left(3\frac{1}{2}\right)^{4}|

Solution :
L'application d'un exposant 4 à une base constitués d'un nombre fractionnaire revient dans ce cas à faire ceci :

|3\frac{1}{2}\times3\frac{1}{2}\times3\frac{1}{2}\times3\frac{1}{2}|

Pour faciliter la résolution, il est préférable de transformer dès le départ le nombre fractionnaire en fraction. On aura alors :

|\frac{7}{2}\times\frac{7}{2}\times\frac{7}{2}\times\frac{7}{2}|

Il ne restera alors qu'à utiliser la méthode de multiplication de fraction, soit de multiplier les numérateurs ensemble pour obtenir le nouveau numérateur et faire la même chose pour les dénominateurs.

|\frac{7\times7\times7\times7}{2\times2\times2\times2}=\frac{2401}{16}=150\frac{1}{16}|

 

|\left(4\frac{1}{5}\right)^{-2}|

Solution :
Pour calculer cette puissance, il faut transformer la fraction de départ en inversant le numérateur et le dénominateur de façon à obtenir un exposant positif.

|\frac{1}{\left(4\frac{1}{5}\right)^{2}}|

Il est ensuite nécesaire de transformer le nombre fractionnaure en fraction :

|\frac{1}{\left(\frac{21}{5}\right)\times\left(\frac{21}{5}\right)}|

On aura alors une multiplication de fractions au dénominateur.

|\frac{1}{\left(\frac{21\times21}{5\times5}\right)}=\frac{1}{\left(\frac{441}{25}\right)}|

Puisque diviser un nombre par une fraction revient à le multiplier par l'inverse de cette fraction, on aura ceci comme réponse finale :

|\frac{25}{441}|

L'exponentiation d'un nombre décimal

Pour les nombres décimaux, le principe reste toujours le même : multiplier le nombre par lui-même selon l'exposant.

Trouver la puissance équivalente à : 0,253

Solution :
L'application d'un exposant 3 à une base constituée d'un nombre décimal revient à ce cas-ci à ceci :

0,25 x 0,25 x 0,25

Pour simplifier la tâche de multiplication de nombres décimaux, il est possible d'effectuer des petits regroupements tel que celui-ci :

(0,25 x 0,25) x 0,25
0,0625 x 0,25 = 0,015624

 

 Trouver la puissance équivalente à ceci : 0,7-4

Solution :
Pour calculer cette puissance, il faut transformer la fraction de départ en inversant le numérateur et le dénominateur.

|\frac{1}{\left(0,7\right)^{4}}|

Le problème est maintenant le suivant :

|\frac{1}{\left(0,7\times0,7\times0,7\times0,7\right)}|
 
Pour se faciliter la tâche, il suffit de trouver le produit au dénominateur, soit :

0,7 x 0,7 x 0,7 x 0,7 = 0,2401

Il ne reste plus qu'à reporter le produit obtenu au dénominateur de notre fraction :

|\frac{1}{0,2401}|

On peut calculer le résultat de cette division (soit 4,16 une fois arrondi aux centièmes) ou laisser le résult tel quel.

 

Les types d'exposant

L'exposant positif est le cas le plus souvent rencontré. On a tout simplement à mulitplier par lui-même la base le nombre de fois indiqué par l'exposant.

64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296
33 = 3 x 3 x 3 = 27

Lorsque l'exposant est égal à 1, la réponse est automatiquement la base. D'ailleurs, il arrive très souvent que l'exposant 1 ne soit pas écrit.

41 = 4

 

L'exposant nul, c'est-à-dire l'exposant égal à 0, équivaut toujours à une puissance de 1, sauf dans un seul cas : 00 = 0.

40 = 1
1520 = 1
330 = 1

 

L'exposant négatif est souvent appelé "exposant contraire". Cela est dû au fait que lorsqu'il y a un exposant négatif, on doit inverser le numérateur et le dénominateur pour ainsi obtenir un exposant positif au dénominateur. Dans le cas où le nombre est un entier, il suffit de considérer l'entier sur un dénominateur de 1.

|4^{-2}=\frac{1}{4^{2}}|
|2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}|

 

L'exposant fractionnaire, c'est-à-dire un exposant qui a la forme d'une fraction, peut être traduit par un racine. Le numérateur de la fraction reste exposant de la base alors que le dénominateur correspond au nombre dans le radical.

|8^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{8^{3}}|
|5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^{2}}|

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse