Les logarithmes

Un logarithme est l’exposant d’une base. Le logarithme répond à la question suivante: quel doit être l’exposant c pour que a = b c ?

Logca=b |\Longrightarrow| cb=a

Le logarithme est l'exposant que je donne à la base c pour obtenir la puissance a.

Par convention, lorsque la base du logarithme est 10, on ne l’écrit tout simplement pas:
log 10 a = log a

La base naturelle est notée e ; c’est un nombre irrationnel qui est égal à environ 2,718 281 828…

Le logarithme de base e, appelé logarithme naturel ou népérien, s’écrit par convention
ln : log e a = ln a

Une base doit être positive. De plus, une base ne peut pas être représentée ni par 0, ni par 1, mais elle peut l’être par un nombre décimal entre les deux ou tout autre nombre rationnel positif.

Exemple 1

Log 25 625 = 2 parce que 25 2 = 625

(l'exposant=2, la base=25 et la puissance=625)

Exemple 2

Log 2 8 = 3 parce que 2 3 = 8

Lois des logarithmes

1) Logarithme de 1

log c 1=0

2) Logarithme de c en base c = 1

log c c=1

3) Logarithme de c en base c exposant n = n


log c cn= n

4) Loi du logarithme d’un produit

log c M·N = log c M + log c N

5) Loi du logarithme d’un quotient

|log_{c}\frac{M}{N}=log_{c}M-log_{c}N|

6) Loi du logarithme fractionnaire

|log_{\frac{_{1}}{c}}M=-log_{c}M|

7) Loi du logarithme d’une puissance

log b M n =n log b M

8) Loi du changement de base

|log_{c}M=\frac{log_{a}M}{log_{a}c}|

Remarque : Lors de la division, les 2 logarithmes doivent avoir la même base.


Simplifier l'expression suivante : log 2 8

On sait qu'on peut exprimer le chiffre huit en fonction du chiffre deux:
log 2 2 3

En appliquant la loi du logarithme d'une puissance, on arrive à l'expression suivante:
3log 2 2

Le logarithme de b en base b est toujours égal à 1. Par conséquent, on obtient:
3(1)=3

Cette expression est égale à 3.

Décomposer l'expression suivante en une somme de logarithmes: log 10 15

On utilise le fait que 15=3×5. On obtient
log 10 (3×5)

On utilise la loi du logarithme d'un produit pour décomposer l'expression:
log 10 3+log 10 5

Comme 3 et 5 sont des nombre premiers, la décomposition est terminée.

Décomposer l'expression suivante en une différence de logarithmes, puis simplifier l'expression obtenue: |log_{5}\frac{1}{4}|

On utilise la loi du logarithme d'un quotient pour décomposer l'expression:
log 5 1 - log 5 4

On sait que le logarithme de 1 est égal à 0. On obtient donc
-log 5 4

À l'aide d'une calculatrice, déterminer la valeur approximative de l'expression suivante : log 3 5

Il faudrait transformer cette expression afin d'obtenir un logarithme en base 10. Afin d'arriver à ce résultat, il faut utiliser la loi de changement de base. On obtient:
log 10 5 ÷ log 10 3

On peut calculer cette expression à l'aide d'une calculatrice. On obtient
≈1,46.

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse