Les propriétés et les lois des exposants

Les propriétés des exposants

1) Un exposant entier et positif indique le nombre de fois par lequel une base est multipliée par elle-même.
am = a x a x a x a x a ... m fois   (m > 0)
(23 = 2 x 2 x 2)

2) N'importe quelle base (sauf 0) affectée de l'exposant 0 donne 1.
a0 = 1
40 = 1
00 est indéfini

3) Un nombre affecté d’un exposant 1 donne toujours la base.
a1 = a
251 = 25

4) Un nombre affecté d’un exposant négatif est équivalent à l’inverse du nombre affecté de l’exposant positif.
|a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}|
|2^{-4}=\frac{1}{2^{4}}|

5) Un nombre affecté d’un exposant fractionnaire se traduit en une racine.
|a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}|
|8^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{8^{3}}|

6) Si de chaque côté d’une égalité on a la même base, on doit avoir le même exposant sur les bases.
Si am = an, alors m = n
84 = 8x alors x = 4


Les lois des exposants

Ces lois s'appliquent si tous les termes de l'opération ont la même base.

 

Produit de puissances
On additionne les exposants lors d’une multiplication.
Pour a ≠ 0 : am ● an = am + n

Quotient de puissances
On soustrait les exposants lors d’une division.
Pour a ≠ 0 : |\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}|

Puissance d’un produit
On peut distribuer un exposant lorsqu’il affecte une parenthèse qui contient une multiplication.
Pour a et b ≠ 0 : (ab)m = ambm

Puissance d'un quotient
On peut distribuer un exposant lorsqu’il affecte une parenthèse qui contient une division.
Pour a et b ≠ 0 : |\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\left(\frac{a^{m}}{b^{m}}\right)|

Puissance d'une puissance
On multiplie les exposants quand une base est affectée de plusieurs exposants.
Pour a ≠ 0 : (am)n = amn

34 • 35 = 34+5 = 39

|\frac{3^{6}}{3^{4}}=3^{6-4}=3^{2}|

(2 x 7)3 = 23 x 73

(32)3 = 32 x 3 = 36

|\left(\frac{5}{3}\right)^{4}=\frac{5^{4}}{3^{4}}|

 

Simplifier la formule suivante :


Étape 1:
On transforme un des entiers pour qu’il ait la même base que l’autre.
4 4 = (2 2 ) 4 = 2 8

Étape 2 :
On distribue l’exposant -2 aux termes de la parenthèse en tenant compte des propriétés des exposants.


Étape 3 :
On transforme les exposants négatifs en exposants positifs.


Étape 4 :
On écrit l’expression transformée.


Étape 5 :
On peut soustraire 2 8 – 2 8 puisque ce sont les mêmes bases à la même puissance.
2 8 – 2 8 = 0

Étape 6 :
On réduit les termes semblables situés au numérateur.


Étape 7 :
On réduit les termes semblables situés au dénominateur.


Étape 8 :
On écrit l’expression transformée.


Étape 9 :
On multiplie les deux fractions


Étape 10 :
On multiplie les expressions au numérateur et par la suite, celles au dénominateur.


Étape 11 :
On divise les expressions de bases identiques qui se trouvent au numérateur et au dénominateur.

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse