Les opérations sur les nombres irrationnels

 

L'addition de nombres irrationnels

Cas 1 : l’addition de 2 radicaux dont les radicandes sont différents

Si on veut être le plus précis possible, on doit laisser l’opération telle qu’elle est. Il n'est pas possible de la simplifier.

Il est également possible de transformer les nombres irrationnels en nombres décimaux et les additionner. Il faudra par contre recourir à l’arrondissement, ce qui fera que la réponse sera moins précise.

|\sqrt{5}+\sqrt{3}|

|\sqrt{5}+\sqrt{3}\approx2,2361+1,7321\approx3,9682|


Cas 2 : l’addition de 2 radicaux dont les radicandes sont identiques

Il est possible de regrouper les radicandes pour une réponse exacte ou transformer le tout en nombres décimaux.

|\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}|

ou

|\sqrt{3}+\sqrt{3}\approx1,7321+1,7321\approx3,4642|


Cas 3 : l’addition de 2 nombres irrationnels

Qu’il s’agisse d’une fraction comprenant le nombre pi ou d’un radical accompagné d’un autre terme, il faut mettre le tout en nombres décimaux et procéder à l’addition.

|\sqrt{2}+\pi\approx1,4142+3,1416\approx4,5558|

 

La soustraction de nombres irrationnels

Pour la soustraction, on utilise les même principes que pour l'addition.

|\sqrt{5}-\sqrt{3}\approx2,2361-1,7321\approx0,5040|


|2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}|
ou
|2\sqrt{3}-\sqrt{3}\approx3,4641-1,7321\approx1,7321|


|\pi-\sqrt{2}\approx3,1416-1,4142\approx1,7274|

 

La multiplication de nombres irrationnels

Lorsque l'on multiplie une racine carrée avec une autre identique, la réponse a la valeur du radicande.

|\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3|

Si les radicaux sont différents, il suffit de recréer une expression ou les deux radicandes se multiplient ensemble sous le même radical.

|\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{15}|

 

La division de nombres irrationnels

Lorsque le radical est le même au numérateur et au dénominateur, il suffit de les réduire ensemble.

|\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1|

|\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2|

Dans le cas où les radicaux sont différents, il suffit de créer une nouvelle expression fractionnaire où les 2 radicandes se retrouvent sous le même radical.

|\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2|

|\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{\frac{6}{2}}=2\sqrt{3}|

 

La rationnalisation

La rationalisation est la transformation en nombre rationnel du dénominateur irrationnel d'une expression écrite sous forme fractionnaire. Pour se faire, il suffit de multiplier l'expression fractionnaire par la fraction-unité appropriée.

Premier cas : Seulement un radical comme dénominateur

Il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par le radical.

|\frac{x+2}{\sqrt{2}}=\frac{x+2}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\left(x+2\right)}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\left(x\right)+2\sqrt{2}}{2}|

 

Deuxième cas : 2 termes au dénominateur

D'abord, on identifie le conjugué du dénominateur, c'est-à-dire la même expression où on fait l'opération inverse. Ensuite, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué.

|\frac{4}{3+\sqrt{2}}=\frac{4}{3+\sqrt{2}}\times\frac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\left(3-\sqrt{2}\right)}{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}=\frac{12-4\sqrt{2}}{\left(9-2\right)}=\frac{12-4\sqrt{2}}{7}|

Lorsque l'on multiplie les deux dénominateurs, on multiplie deux binôme. Voici ce que cela donne :

|\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)=\left(3\cdot3\right)+\left(3\cdot-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{2}\cdot3\right)+\left(\sqrt{2}\cdot-\sqrt{2}\right)=|
|9-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2=9-2=7|

 

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse