Calcul de rapports

Les rapports comparent deux valeurs de même nature (de même unité de mesure).

On exprime un rapport à l’aide de deux points superposés ou à l’aide d’une barre de fraction. Si on veut comparer une quantité « a » avec une quantité « b », on peut exprimer ce rapport de deux façons, soit :

|a:b|              et            |\frac{a}{b}|
 
En général, un rapport n'a pas d'unités de mesure, les unités étant les mêmes pour les deux grandeurs, elles s’annulent.

La traduction d’énoncés en rapport

Pour traduire un énoncé sous forme de rapport, on doit respecter les étapes suivantes:

1.  On repère deux grandeurs à comparer.

2.  On s’assure que les deux grandeurs repérées ont les mêmes unités.

3.  À moins que l’on exige de représenter le rapport autrement, on peut écrire sous forme de fraction la plus petite grandeur au numérateur et la plus grande au dénominateur.

4.  On peut simplifier le rapport à une plus simple expression, sans unité.

Voici quelques exemples d’énoncés traduits en rapports.

1) Sur les 36 filles de la classe de gymnastique, 18 ont les cheveux longs. Quel rapport traduit cette situation ?

Les deux grandeurs à comparer sont :
-36 filles;
-18 filles aux cheveux longs.
 
Les unités des grandeurs repérées sont les mêmes :
36 filles et 18 filles.
 
La plus petite grandeur est « 18 filles ». Elle représente le numérateur de notre fraction, alors que le « 36 filles » représente le dénominateur.
 
Le rapport sera:

|\frac{18\: filles}{36\: filles}=\frac{1}{2}|

Cela signifie qu'une fille sur deux dans la classe a les cheveux longs.

2)  J’ai acheté 100 grammes de bonbons. J'ai donné 10 grammes à mon ami Paul. Quel rapport traduit cette situation ?

Les deux grandeurs à comparer sont:

-100 grammes de bonbons achetés;
-10 grammes de bonbons donnés.
 
La plus petite grandeur est « 10 grammes ». Elle représente le numérateur de notre fraction, alors que le « 100 grammes » représente le dénominateur.
 
La notation décimale sera:

|\frac{10\: grammes}{100\: grammes}=\frac{1}{10}|

Cela signifie qu'à tous les 10 grammes je donne 1 gramme à Paul.

Les rapports équivalents

On appelle proportion la relation entre des rapports équivalents.  Ces derniers se réfèrent aux fractions équivalentes.

Pour déterminer si deux rapports sont équivalents est de vérifier s’ils ont la même notation décimale ou la même fraction lorsqu'ils sont simplifiés. Si oui, elles sont équivalentes.

Avec les notations décimales

|\frac{2}{3}=0,\overline{66}| et |\frac{1}{2}=0,5| ne sont pas des rapports équivalents, car ils n'ont pas la même notation décimale.

|\frac{4}{9}=0,\overline{44}| et |\frac{28}{63}=0,\overline{44}| sont des rapports équivalents, car ils ont la même notation décimale.
 
En simplifiant les fractions

Soit les deux rapports suivants

|\frac{27}{36}=\frac{27\div9}{36\div9}=\frac{3}{4}|
 
|\frac{9}{12}=\frac{9\div3}{12\div3} =\frac{3}{4}|
 
Puisqu'on arrive au même rapport simplifié, on peut conclure que les deux rapports sont équivalents.

Le rapport exprimé à l’aide d’un pourcentage

Puisqu’un rapport est exprimé à l’aide d’une fraction ou d’une notation décimale, il est possible de convertir l’expression d’un rapport en pourcentage. Il s’agit alors de savoir comment transformer une fraction ou un nombre décimal en pourcentage. Pour en savoir plus à ce sujet, consulter l’une des fiches suivantes :

La transformation d’une fraction en pourcentage

La transformation d’un nombre décimal en pourcentage

L’une des méthodes possibles consiste à transformer la fraction de départ en une fraction équivalente dont le numérateur est 100.

3 personnes sur 50 ont apprécié le spectacle. Transformer le rapport suivant en pourcentage.

|\frac{3\: personnes}{50\: personnes}=\frac{3\cdot2}{50\cdot2}=\frac{6}{100}=6\%|
 
Donc 6% des personnes ont apprécié le spectacle.

La comparaison de rapports

En général, lorsque l'on compare deux rapports, on veut déterminer lequel est le plus avantageux.

Il existe deux façons de comparer des rapports

Méthode 1:  En les transformant en notation décimale

Méthode 2:  En les mettant sur un dénominateur commun et en analysant le numérateur

Méthode 1:  En les transformant en notation décimale

Dans une recette de potage de brocoli, on demande d’ajouter 250 ml de crème pour 1000 ml de soupe.  Pour le potage de carottes, on suggère d’ajouter 600 ml de crème pour 2500 ml.  Quel potage est le plus riche en crème ?

Méthode 1: On trouve l’équivalence des concentrations en crème en notation décimale.

|Potage\,de\,brocoli=\frac{250ml\, de\, cr\grave{e}me}{1000ml\, de\, soupe}=0,25|
 
|Potage\,de\,carotte=\frac{600ml\, de\, cr\grave{e}me}{2500ml\, de\, soupe}=0,24|

Le potage de brocoli est donc plus riche en crème puisque 0,25 est un nombre décimal plus grand que 0,24.


Méthode 2:  En les mettant sur un dénominateur commun et en analysant le numérateur

Dans une classe, il y a 5 garçons et 15 filles. Dans une autre classe, il y a 9 garçons pour 30 filles. Dans quelle classe le rapport garçons filles et le plus petit?

Le rapport de la première classe est |\frac{5}{15}| et le rapport de la deuxième classe est |\frac{9}{30}|.

Si met les deux rapports sur le même dénominateur ont obtient:

|\frac{5}{15}=\frac{5\cdot2}{15\cdot2} =\frac{10}{30}|
 
|\frac{9}{30}=\frac{9\cdot1}{30\cdot1}=\frac{9}{30}|
 
Le numérateur du deuxième rapport est plus petit, donc le rapport le plus petit est celui de la deuxième classe.

Les effets des modifications sur un rapport

Tout comme pour une fraction, si on effectue une multiplication ou une division aux deux termes (numérateur et dénominateur), le rapport reste le même. 
 
Par contre, si on ne modifie que le numérateur OU que le dénominateur, on affecte directement le rapport, et ce de l’une des façons suivantes :

  • Pour augmenter un rapport (a / b), on peut :
    • Augmenter la valeur du terme a
    • diminué la valeur du terme b.
  • Pour diminuer un rapport (a / b), on peut :
    • diminuer la valeur du terme a.
    • augmenter la valeur du terme b. 

La valeur du numérateur augmente

Au départ, le rapport est le suivant:
|\frac{2\,personnes}{5\,personnes}=0,40|

Si on augmente uniquement la valeur du numérateur, en le ramenant par exemple à 10, on obtient ceci :

|\frac{2\, personnes}{5\, personnes}=\frac{10\, personnes}{5\, personnes}=2|

Cette modification aura pour effet de rendre le rapport plus grand que celui de la situation initiale. L'inverse se produira si l'on diminue le numérateur.
 
La valeur du dénominateur augmente

Au départ, le rapport est le suivant:
|\frac{2\,personnes}{5\,personnes}=0,40|

Si on augmente uniquement la valeur du dénominateur, en le ramenant par exemple à 10, on obtient ceci :

|\frac{2\, personnes}{5\, personnes}=\frac{2\, personnes}{10\, personnes}=0,20|

Cette modification aura pour effet de rendre le rapport plus petit que celui de la situation initiale. L'inverse se produira si l'on diminue le dénominateur.

L’interprétation d’un rapport

En général, l'interprétation d'un rapport consiste à trouver un nouveau rapport et à le définir à partir d'un rapport déjà connu. On utilise le produit croisé pour répondre à ces problèmes.

Les étapes suivantes sont utiles pour résoudre et interpréter un rapport 

1) Trouver les informations utiles

2) Déterminer ce que l'on cherche

3) Utilise les produits croisés pour trouver ce que l'on cherche

4) Interprète les résultats

Si l’on souhaite peindre les murs d’une chambre avec une couleur que l’on obtient uniquement en mélangeant 12 ml de peinture bleue à 3 ml de peinture verte.

On souhaite préparer 4 L de cette nouvelle couleur de peinture, quelle sera la quantité (en ml) de chaque couleur que l’on doit mélanger ?

1) Si on sort les informations utiles pour résoudre

Peinture bleue à utiliser pour créer le mélange = 12 ml

Peinture verte à utiliser pour créer le mélange = 3 ml

Peinture bleu + peinture verte = 15 ml (Il s’agit ici d’une donnée indirecte qu’il faut savoir interpréter.)

Quantité de la nouvelle couleur à créer = 4 L (c’est-à-dire 4 000 ml)

2) Déterminer ce que l'on cherche

On souhaite trouver la quantité (en ml) de peinture bleue et de peinture verte qu’il faut mélanger pour obtenir 4000 ml (4 L) de peinture de la nouvelle couleur.

3) Utilise les produits croisés pour trouver ce que l'on cherche

Dans 15 ml de peinture mélangée, on a 12 ml de peinture bleue et 3 ml de peinture rouge. Si nous avons 4000 ml de peinture mélangée, quelles seront les nouvelles quantités de peinture bleue et de peinture rouge ?

Pour trouver la quantité de peinture bleue, on procède ainsi :


et la quantité de peinture verte :


4) Interprète les résultats

En conclusion, pour créer 4 L de peinture mélangée, on aura besoin de 3200 ml de peinture bleue et de 800 ml de peinture verte.

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse