Les proportions et résolution de situations proportionnelles

Les proportions

Une proportion correspond à l'égalité entre deux rapports ou deux taux.

Dans la vie quotidienne, on dit d’un chien que l’on voit sur une photo qu’il est proportionnel puisque la photo n’a pas déformé le chien, elle ne fait que rapetisser sont image.  Il en est de même pour les rapports. S’ils augmentent ou diminuent et qu’ils gardent leur équivalence, on dit qu’ils sont proportionnels . 

Une situation est directement  proportionnelle lorsque les deux variables varient dans le même sens.

Une situation inversement proportionnelle que les deux variables varient en sens inverse (l'une augmente lorsque l'autre diminue).

Résolution d'une situation proportionnalité

Les extrêmes et les moyens

  • Lorsqu’on exprime une proportion entre deux rapports , on appelle extrêmes et moyens les termes composant les rapports.



Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

Cette propriété est utile si on souhaite:

1.  déterminer si les taux ou les rapports sont équivalents

2.  déterminer la valeur d'une inconnue dans une proportion

1.  déterminer si les taux ou les rapports sont équivalents

Soit les deux rapports suivants:

|\frac{4}{5}=\frac{80}{100}|
 
|4\cdot100=5\cdot80|
 
|400=400|

Puisque le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, on peut conclure que les deux rapports sont équivalents

2.  déterminer la valeur d'une inconnue dans une proportion

|\frac{4}{5}=\frac{x}{100}|
 
|4\cdot100=5\cdot x|
 
|\frac{400}{5}=x|
 
|80=x|

Le produit croisé (la règle de trois, méthode du poisson)

Le produit croisé est utile dans les proportions de rapport et de taux pour trouver une donnée absente.

Le produit croisé dans une situation directement proportionnelle

Voici la règle à respecter



ou   

|d=\frac{b\times c}{a}|

d est inconnu ( on le remplace souvent par |x|
a,b et c sont des nombres réels
 

Simone plante des fleurs sur son terrain.  Aujourd’hui, elle a travaillé pendant 4 heures et a ainsi réussit à planter les fleurs de 36 boîtes.  Combien de boîtes de fleurs réussira-t-elle à vider si demain, elle n’a que 2 heures à consacrer à ses fleurs ?

|\frac{36\, bo\hat{\imath}tes}{4h}=\frac{x}{2h}|

|x=\frac{2h\times36\, bo\hat{\imath}tes}{4h}|

|x=18\, bo\hat{\imath}tes|
 
En conclusion, Simone utilisera 18 boîtes de fleurs en 2 heures de travail.

La procédure dans une situation inversement proportionnelle

Cette procédure ressemble beaucoup à celle du produit croisé, mais ce n'est pas un produit croisé puisque que l'on doit faire l'opération inverse. En effet, il faut diviser au lieu de multiplier et multiplier au lieu de diviser.

Voici la règle à respecter


ou   

|d=\frac{b\times a}{c}|

d est inconnu ( on le remplace souvent par |x|
a,b et c sont des nombres réels

Trois amis ont mis 40 heures pour peindre l’appartement où ils demeurent.  S’ils avaient été 5 personnes, de combien de temps auraient-ils eu besoin ?

Les rapports sont inversement proportionnels puisque plus il y a de personnes, moins de temps ça prendra pour peindre l’appartement. Ainsi, le nombre de personnes augmente, mais le nombre d’heures de travail diminue. 

|\frac{40h}{3\, personnes} =\frac{x}{5\, personnes}|
 
|x=\frac{3\, personnes\times 40h}{5\, personnes}|

x=24h

Les coefficients de proportionnalité

  • Un coefficient de proportionnalité est une constante entre deux variables d'une situation. Le produit d'une des variables par le coefficient de proportionnalité nous donne la deuxième variable.
Cette table de valeur indique le prix du saumon dans une épicerie en fonction de la masse.


Pour passer de 8,2 à 30,2, on doit multiplier par un coefficient de 3,68. Pour trouver le prix d'une masse de saumon de 6,3kg, on doit multiplier par le même coefficient

|6,3\times3,68=x|

23,20$=x

Retour à l'unité

  • Avec cette stratégie,  on recherche le taux unitaire pour ensuite pour déduire les valeurs manquantes.

Le prix pour 4 kg de jambon coûte 16$, quel est le prix d'un jambon de 2,5kg.


1)  On recherche le taux unitaire.

|\frac{16\$}{4kg}=\frac{16\div4}{4\div4}=\frac{4\$}{1kg}|

2)  On cherche le prix du jambon de 2,5 kg

|\frac{4\$}{1kg}=\frac{4\times2,5}{1\times2,5}=\frac{10\$}{2,5kg}|

Le prix d'un jambon de 2,5kg est de 10$.

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse