La relation entre la vitesse et le temps

La vitesse instantanée (La tangente d’un segment courbe)

La vitesse instantanée est la vitesse à un instant précis du déplacement d'un mobile.   


Une ligne courbe représente une accélération ou un changement de vitesse et donc, il est impossible d’y calculer une seule valeur de vitesse pour tout un segment. Par contre, il est possible d’y calculer une vitesse instantanée à l’aide de la tangente de la courbe à un point donné.

 
Comme on peut le voir sur le graphique ci-dessus, pour calculer la vitesse instantanée de l’objet à 3 secondes, il suffit de calculer le taux de variation de la droite tangente.  Cependant, on ne connaît qu’un seul point à la tangente, soit le point (3,8). Nous obtiendrons alors une vitesse peu précise. 
 
Il est possible de recourir à la méthode des intervalles pour trouver une vitesse plus précise.  Il suffit alors d’utiliser le point précédent et le point suivant au point situé sur la tangente pour calculer notre taux de variation.

Sur le graphique ci-dessus par exemple, on peut calculer la vitesse à 3 secondes en utilisant le point (2,4) et le point (4,16). La vitesse instantanée serait alors égale à 6 m/s.

La vitesse moyenne

La vitesse moyenne d'un point est le rapport entre la distance parcourue et la durée qu'a pris le mobile pour parcourir cette distance.

Si nous reprenons l'exemple de la ligne courbe

On peut trouver la vitesse moyenne du mobile entre 1 et 5 secondes en faisant le calcul suivant:

|v_{moy}=\frac{32-2}{5-1}|


vmoy=7,5m/s

Graphique de la vitesse en fonction du temps

Le graphique de la vitesse en fonction du temps nous informe de la vitesse d’un mobile à tout moment. 

On ne peut pas savoir où se trouve l’objet par un simple regard du graphique, on ne peut qu’observer une vitesse.

 
Ce type de graphique permet d'observer la vitesse de l’objet à tout moment.  L’exemple ci-dessus, on sait qu’à 9 secondes, l’objet possède une vitesse de 4 m/s et qu’à 5 secondes, ce dernier s’est arrêté (0 m/s).

On sait aussi qu’à 2 secondes, l’objet a une vitesse de -6 m/s.  Rappelons-nous qu’une vitesse négative représente un objet qui va dans le sens contraire à l’orientation de référence.

Une vitesse constante (une ligne horizontale)

Une ligne horizontale comme celles représentées par les segment 1, 3 et 7, nous indique qu’un objet a une vitesse régulière, mais qui ne s’est pas nécessairement arrêté. 

Seul le segment 3 représente un objet arrêté, puisque la ligne horizontale se trouve sur l’axe des x.

Une accélération constante (une ligne oblique)

Une ligne oblique représente une variation de vitesse, donc une accélération. 

Une inclinaison qui monte vers la droite (segment 2 et segment 4) représente une accélération positive et une inclinaison qui descend vers la droite (segment 6) représente une accélération négative. 

Plus l’inclinaison est prononcée, plus l’accélération est grande. Par exemple, l’accélération de l’objet au segment 2 est plus grande qu’au segment 4.

Le taux de variation d’un segment droit (l’accélération)

Calculons l’accélération du mobile entre 2 et 3 secondes.  Comme ce segment est droit, on pourra dire que le mobile aura la même accélération en tout temps dans cet intervalle de temps.

 

Malgré que le segment soit en dessous de l’axe des x, on obtient quand même une accélération positive, ce qui était prévisible puisque l’inclinaison de ce segment monte en allant vers la droite.

La variation de position (l’aire sous la courbe )

L’aire sous la courbe nous indique la distance que le mobile a  parcouru à l’intérieur d'un intervalle de temps.

Calculons donc l’aire sous la courbe entre 11 et 13 secondes. 

 

L’aire sous la courbe entre 11 et 13 secondes à la forme d’un trapèze.  Nous utiliserons donc la formule du calcul de l’aire d’un trapèze pour déterminer l’aire sous la courbe.

 
On pourra donc en conclure que le déplacement de l’objet a été de 5 mètres entre 11 et 13 secondes. 
 
Lorsque l’aire sous la courbe représente une zone sous l’axe des x, on calculera un déplacement négatif, ce qui est normal puisque sous l’axe des x la vitesse est négative. 

On se déplacera donc nécessairement du côté négatif si la vitesse est négative.

Les exercices

Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse