Les équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré

Six équations résument le mouvement rectiligne uniformément accéléré.

Pour utiliser convenablement ces équations, il est nécessaire de bien utiliser les signes associés aux variables.

La considération de 2 mobiles

Une voiture initialement au point A se dirige vers la droite avec une vitesse constante de 15 m/s. Partant du point B, une autre voiture, initialement au repos, se dirige vers la gauche avec une accélération de 2,5 m/s2.

Les points A et B sont séparés par une distance de 250 m. Après combien de temps ces deux voiture se croiseront-elles ?


Dans ce type de problème, il faut d’abord établir notre référentiel.  On dira donc que le point A est notre point de référence et que le sens positif est vers la droite.
 
Considérons d’abord le véhicule A.

 
Considérons maintenant le véhicule B.



Lorsque les deux véhicules se croiseront, ils auront nécessairement la même position finale (Sf) et il se croiseront au même temps.
On pourra donc résoudre le problème en utilisant un système de deux équations à deux inconnues avec la méthode de comparaison.







On peut maintenant déterminer après combien de temps les voitures se croiseront en déterminant les zéros de la fonction (voir l’exemple 1).
 
On obtiendra alors des valeurs de temps de 9,4s et de -21,3s. 

Nous retiendrons seulement la valeur de temps positive, soit Δt = 9,4s

Résoudre une équation du second degré

Une voiture circulant à 30 m/s accélère avec un taux de -4 m/s2 sur une distance de 35 mètres. Combien de temps a duré sa décélération ?

La meilleure équation pour résoudre ce problème est l’équation no 5, puisque nous n’avons comme informations que l’accélération (a = -4 m/s2), la vitesse initiale de 30 m/s et la distance de freinage de 35 mètres.

|\triangle s=v_{i}\cdot\triangle t+\frac{1}{2}a\triangle t^{2}|

En déplacant les termes vers la droite on se retrouve avec une équation du second dégré

|0=-2\triangle t^{2}+30\triangle t-35|

On peut utiliser la formule des zéros pour trouver les deux valeurs de temps possibles pour le temps


Nous avons donc deux valeurs de réponses plausibles, mais en faisant une analyse on peut conclure que le temps de 13,5s est impossible.

Nous devrons choisir la première réponse, soit Δt = 1,3 seconde.

Les exercices

Question 1

Couché dans la savane, un lion aperçoit une autruche qui s'approche. L'autruche passe à une vitesse constante de 12 m/s. Le lion attend 3 secondes avant d'accélérer à 4 m/s². Combien de temps le lion met-il pour rattraper l'autruche, en supposant que l'autruche garde une vitesse constante?

 

Réponse 1

Ici, on veut un temps (ΔT).

On a 2 choses qui se déplacent. Donc, visuellement, on a deux graphiques qui se rencontrent et on cherche le point d'intersection.

Donc, disons que le lion est au point 0 du graphique.

L'équation de l'autruche :
ΔS = Vi * ΔT + 1/2*a*ΔT²
Sf - Si = 12 m/s * ΔT + 1/2*0*ΔT²  -> Ici j'ai remplacé ΔS par sa définition, une différence de déplacements.

Sf - 36 = 12 * ΔT + 0  -> Ici, le 0 vient de 1/2*0*ΔT et le 36 vient de l'avance que l'autruche a prise. 3 secondes à 12 m/s = 36 m.

Autruche : Sf = 12*ΔT + 36

L'équation du lion :
ΔS = Vi * ΔT + 1/2*a*ΔT²
Sf - Si = 0m/s*ΔT + 1/2*4*ΔT²  Ici, le lion avait une vitesse de 0 au début.

Sf - 0 = 0 + 2*ΔT²  Ici, on a déjà placé le lion a l'origine (0) et on simplifie 0*ΔT par 0.

Lion : Sf = 2*ΔT²

Donc, si le lion attrape l'autruche, ils sont au même point, donc Sf autruche = Sf lion

Sf = Sf
12*ΔT + 36 = 2*ΔT²
0 = 2*ΔT² - 12*ΔT - 36

On résout avec |\frac{-b\text{±}\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}|
 
Donc :
|\frac{--12+\sqrt{144-4*2*-36}}{2*2}|
 
|\frac{12+\sqrt{144+288}}{4}|
 
(12 + 20,78) / 4

ΔT = 8,2 secondes.


Les références

  • MELS
  • Rogers
  • Réunir Réussir
  • Fondation Réussite Jeunesse